定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^{3}x \, dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^{3}x \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

$\cos^{3}x$ を積分するために、まず $\cos^{3}x$ を変形します。

$\cos^{3}x = \cos^{2}x \cdot \cos x$ と分解できます。

さらに、三角関数の恒等式 $\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x$ を用いると、$\cos^{3}x = (1 - \sin^{2}x) \cos x$ となります。

したがって、

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\int \cos^{3}x \, dx = \int (1 - \sin^{2}x) \cos x \, dx

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ここで、$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x \, dx$ となります。

したがって、積分は

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\int (1 - u^{2}) \, du = u - \frac{u^{3}}{3} + C = \sin x - \frac{\sin^{3}x}{3} + C

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となります。ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分を計算します。

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\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^{3}x \, dx = \left[ \sin x - \frac{\sin^{3}x}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}

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= \left( \sin \frac{\pi}{4} - \frac{\sin^{3} \frac{\pi}{4}}{3} \right) - \left( \sin 0 - \frac{\sin^{3} 0}{3} \right)

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$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、$\sin 0 = 0$ であるから、

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= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3}}{3} \right) - (0 - 0) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{(\frac{2\sqrt{2}}{8})}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{3}

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= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{6\sqrt{2} - \sqrt{2}}{12} = \frac{5\sqrt{2}}{12}

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3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{2}}{12}$