以下の問題が与えられています。 (1) $\sqrt[n]{n!} = \exp\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \log k\right)$ を示す。 (2) $n \ge 2$ のとき、$\sum_{k=1}^{n} \log k > \int_{1}^{n} \log x dx$ を示す。 (3) (2) を使って (1) の値の極限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}$ を求める。

1. 問題の内容

以下の問題が与えられています。

(1) $\sqrt[n]{n!} = \exp\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \log k\right)$ を示す。

(2) $n \ge 2$ のとき、$\sum_{k=1}^{n} \log k > \int_{1}^{n} \log x dx$ を示す。

(3) (2) を使って (1) の値の極限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt[n]{n!} = (n!)^{1/n}$ である。

両辺の対数を取ると、

$\log(\sqrt[n]{n!}) = \log((n!)^{1/n}) = \frac{1}{n} \log(n!) = \frac{1}{n} \log(1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k$.

したがって、

$\sqrt[n]{n!} = \exp(\log(\sqrt[n]{n!})) = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k\right)$.

(2)

$n \ge 2$ のとき、関数 $\log x$ は増加関数なので、区間 $[k-1, k]$ において $\log(k-1) \le \log x \le \log k$ が成り立つ。

$\int_{k-1}^{k} \log x dx < \int_{k-1}^{k} \log k dx = \log k$.

$\sum_{k=1}^{n} \log k = \sum_{k=2}^{n} \log k + \log 1 = \sum_{k=2}^{n} \log k$.

$\sum_{k=2}^{n} \log k > \sum_{k=2}^{n} \int_{k-1}^{k} \log x dx = \int_{1}^{n} \log x dx$.

よって、$\sum_{k=1}^{n} \log k > \int_{1}^{n} \log x dx$.

(3)

$\int_{1}^{n} \log x dx = [x \log x - x]_{1}^{n} = (n \log n - n) - (1 \log 1 - 1) = n \log n - n + 1$.

(2)より、$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k > \frac{1}{n} \int_{1}^{n} \log x dx = \frac{n \log n - n + 1}{n} = \log n - 1 + \frac{1}{n}$.

$\log x$ は凸関数なので、

$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k < \int_{1}^{n+1} \frac{1}{n} \log x dx = \frac{(n+1) \log(n+1) - (n+1) + 1}{n} = \frac{(n+1) \log(n+1) - n}{n} = \frac{n+1}{n} \log(n+1) - 1$.

$\log n - 1 + \frac{1}{n} < \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k < \frac{n+1}{n} \log(n+1) - 1$.

したがって、

$\exp(\log n - 1 + \frac{1}{n}) < \exp\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k\right) < \exp(\frac{n+1}{n} \log(n+1) - 1)$.

$e^{\log n - 1 + 1/n} = \frac{n}{e^{1-1/n}}$

$e^{\frac{n+1}{n}\log(n+1) - 1} = \frac{(n+1)^{\frac{n+1}{n}}}{e}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{n}{e^{1-1/n}} \to \frac{n}{e}$.

$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{1}{e}$より、$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{e} = \infty$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k = \int_{0}^{1} \log(nx) dx = \int_{0}^{1} \log n + \log x dx = \log n + [x \log x - x]_0^1 = \log n + (0-1-0) = \log n - 1$.

ただし、$x = k/n$ とした。

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k - \log n + 1 \right) = 0$.

$\sqrt[n]{n!} = \exp(\log n - 1 + o(1))$.

$\sqrt[n]{n!} = \frac{n}{e}$.

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{1}{e}$.

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \infty$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n/e} = 1$

よって、$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n/e} = 1$.