与えられた微分方程式 $\frac{dx}{dt} = \sqrt{a - bx}$ を解きます。ここで、$a$ と $b$ は定数です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dx}{dt} = \sqrt{a - bx}$ を解きます。ここで、$a$ と $b$ は定数です。

2. 解き方の手順

この微分方程式は変数分離形であるため、以下の手順で解きます。

ステップ1: 変数分離

$x$ と $t$ を分離します。

$\frac{dx}{\sqrt{a - bx}} = dt$

ステップ2: 両辺を積分

両辺をそれぞれ積分します。

左辺は $x$ について積分し、右辺は $t$ について積分します。

$\int \frac{dx}{\sqrt{a - bx}} = \int dt$

左辺の積分を実行するために、置換積分を使用します。

$u = a - bx$ とすると、$du = -b dx$ 、つまり $dx = -\frac{1}{b} du$ となります。

したがって、左辺の積分は次のようになります。

$\int \frac{dx}{\sqrt{a - bx}} = \int \frac{-\frac{1}{b} du}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{b} \int u^{-\frac{1}{2}} du$

$-\frac{1}{b} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{b} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = -\frac{2}{b} \sqrt{u} + C_1 = -\frac{2}{b} \sqrt{a - bx} + C_1$

右辺の積分は次のようになります。

$\int dt = t + C_2$

したがって、積分結果は次のようになります。

$-\frac{2}{b} \sqrt{a - bx} = t + C$

ここで、$C = C_2 - C_1$ は積分定数です。

ステップ3: $x$ について解く

$x$ について解くために、式を整理します。

$\sqrt{a - bx} = -\frac{b}{2}(t + C)$

両辺を2乗します。

$a - bx = \frac{b^2}{4}(t + C)^2$

$-bx = \frac{b^2}{4}(t + C)^2 - a$

$x = -\frac{b}{4}(t + C)^2 + \frac{a}{b}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{a}{b} - \frac{b}{4}(t + C)^2$