問題は、極限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}$ を求めるものです。 (1) $\sqrt[n]{n!} = \exp(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k)$ を示す。 (2) $n > 2$ のとき、$\sum_{k=1}^{n} \log k > \int_{1}^{n} \log x dx$ を示す。 (3) (2) を使って (1) の値の極限を求める。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}$ を求めるものです。

(1) $\sqrt[n]{n!} = \exp(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k)$ を示す。

(2) $n > 2$ のとき、$\sum_{k=1}^{n} \log k > \int_{1}^{n} \log x dx$ を示す。

(3) (2) を使って (1) の値の極限を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[n]{n!} = (n!)^{\frac{1}{n}}$ である。両辺の対数をとると、

$\log(\sqrt[n]{n!}) = \log((n!)^{\frac{1}{n}}) = \frac{1}{n} \log(n!) = \frac{1}{n} \log(\prod_{k=1}^{n} k) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k$

したがって、$\sqrt[n]{n!} = \exp(\log(\sqrt[n]{n!})) = \exp(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k)$ となる。

(2) $y = \log x$ は単調増加関数であるから、$k \leq x \leq k+1$ に対して、$\log k \leq \log x \leq \log(k+1)$ が成り立つ。

よって、

$\sum_{k=1}^{n} \log k = \log 1 + \log 2 + \dots + \log n$

$\int_{1}^{n} \log x dx = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \log x dx > \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \log k dx = \sum_{k=1}^{n-1} \log k \int_{k}^{k+1} dx = \sum_{k=1}^{n-1} \log k \cdot 1 = \sum_{k=1}^{n-1} \log k$

したがって、$\sum_{k=1}^{n} \log k > \int_{1}^{n} \log x dx$ が成立する。$\sum_{k=1}^{n} \log k = \sum_{k=1}^{n-1} \log k + \log n$であり、積分$\int_{1}^{n} \log x dx$の結果を計算すると、

$\int_{1}^{n} \log x dx = [x \log x - x]_{1}^{n} = (n \log n - n) - (1 \log 1 - 1) = n \log n - n + 1$

よって、$\sum_{k=1}^{n} \log k > n \log n - n + 1$

(3) (1) より $\sqrt[n]{n!} = \exp(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k)$ であり、(2) より $\sum_{k=1}^{n} \log k > \int_{1}^{n} \log x dx = n \log n - n + 1$

したがって、$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k > \frac{1}{n} (n \log n - n + 1) = \log n - 1 + \frac{1}{n}$

よって、$\exp(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log k) > \exp(\log n - 1 + \frac{1}{n}) = \frac{n}{e} e^{\frac{1}{n}}$

また、$\lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n}} = e^{0} = 1$ である。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} \log k}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{1} = \infty$ となる。

$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log k = \frac{1}{n}\log(n!) = \log(\sqrt[n]{n!})$.

Stirlingの公式によれば、$n! \sim \sqrt{2\pi n} (\frac{n}{e})^n$

$\sqrt[n]{n!} \sim (2\pi n)^{\frac{1}{2n}} \frac{n}{e}$

$\lim_{n \to \infty} (2\pi n)^{\frac{1}{2n}} = 1$.

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e} = \infty$

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \infty$