$k$ を正の定数とするとき、以下の双曲線関数の導関数を求めよ。 (1) $\sinh kx$ (2) $\cosh kx$ (3) $\tanh kx$

1. 問題の内容

$k$ を正の定数とするとき、以下の双曲線関数の導関数を求めよ。

(1) $\sinh kx$

(2) $\cosh kx$

(3) $\tanh kx$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sinh kx$ の導関数を求める。

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ であるから、

$\sinh kx = \frac{e^{kx} - e^{-kx}}{2}$

$\frac{d}{dx} \sinh kx = \frac{d}{dx} (\frac{e^{kx} - e^{-kx}}{2})$

$= \frac{1}{2} (ke^{kx} - (-k)e^{-kx})$

$= \frac{k}{2} (e^{kx} + e^{-kx})$

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ であるから、

$\frac{d}{dx} \sinh kx = k \cosh kx$

(2) $y = \cosh kx$ の導関数を求める。

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ であるから、

$\cosh kx = \frac{e^{kx} + e^{-kx}}{2}$

$\frac{d}{dx} \cosh kx = \frac{d}{dx} (\frac{e^{kx} + e^{-kx}}{2})$

$= \frac{1}{2} (ke^{kx} + (-k)e^{-kx})$

$= \frac{k}{2} (e^{kx} - e^{-kx})$

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ であるから、

$\frac{d}{dx} \cosh kx = k \sinh kx$

(3) $y = \tanh kx$ の導関数を求める。

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ であるから、

$\tanh kx = \frac{\sinh kx}{\cosh kx}$

$\frac{d}{dx} \tanh kx = \frac{d}{dx} (\frac{\sinh kx}{\cosh kx})$

$= \frac{(\sinh kx)' \cosh kx - \sinh kx (\cosh kx)'}{(\cosh kx)^2}$

$= \frac{k \cosh kx \cdot \cosh kx - \sinh kx \cdot k \sinh kx}{(\cosh kx)^2}$

$= k \frac{(\cosh kx)^2 - (\sinh kx)^2}{(\cosh kx)^2}$

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ であるから、

$\frac{d}{dx} \tanh kx = \frac{k}{(\cosh kx)^2}$

$= k \operatorname{sech}^2 kx$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx} \sinh kx = k \cosh kx$

(2) $\frac{d}{dx} \cosh kx = k \sinh kx$

(3) $\frac{d}{dx} \tanh kx = k \operatorname{sech}^2 kx$