関数 $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 5x + 1$ について、$x=3$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 5x + 1$ について、$x=3$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接点の $y$ 座標を求める。

$x=3$ を元の関数に代入して、$y$ 座標を計算します。

$y = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 5(3) + 1 = \frac{1}{3}(27) - 9 - 15 + 1 = 9 - 9 - 15 + 1 = -14$

したがって、接点の座標は $(3, -14)$ です。

ステップ2: 導関数を求める。

与えられた関数を $x$ で微分して、導関数を求めます。

$y' = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 5x + 1) = x^2 - 2x - 5$

ステップ3: 接線の傾きを求める。

導関数に $x=3$ を代入して、接線の傾きを計算します。

$y'(3) = (3)^2 - 2(3) - 5 = 9 - 6 - 5 = -2$

したがって、接線の傾きは $-2$ です。

ステップ4: 接線の方程式を求める。

接点の座標 $(3, -14)$ と傾き $-2$ を用いて、接線の方程式を求めます。接線の方程式は一般的に $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点の座標、$m$ は傾きです。

$y - (-14) = -2(x - 3)$

$y + 14 = -2x + 6$

$y = -2x - 8$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = -2x - 8$ です。