関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1$ の極小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1$ の極小値を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1：導関数を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 5$

ステップ2：導関数が0になる点を求める。

$3x^2 - 6x + 5 = 0$

この二次方程式の判別式を調べると、

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24 < 0$

となり、実数解を持たない。つまり、$f'(x) = 0$ となる $x$ は存在しない。

ステップ3：増減を調べる。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 = 3(x^2 - 2x) + 5 = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5 = 3(x - 1)^2 - 3 + 5 = 3(x - 1)^2 + 2$

$(x - 1)^2 \geq 0$ であるから、$3(x - 1)^2 + 2 \geq 2 > 0$。

したがって、$f'(x) > 0$ である。

これは、$f(x)$ が常に増加関数であることを意味する。

ステップ4：極小値を判定する。

$f'(x) = 0$ となる点が存在しないため、極値も存在しない。

したがって、極小値は存在しない。

3. 最終的な答え

極小値は存在しない。