関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ の極大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ の極大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

(3) 二次導関数 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = 6x - 6$

(4) $f''(x)$ を用いて、極大値と極小値を判別します。

$x = 0$ のとき、$f''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0$ なので、$x = 0$ で極大となります。

$x = 2$ のとき、$f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0$ なので、$x = 2$ で極小となります。

(5) $x = 0$ のときの $f(x)$ の値を計算します。

$f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 1 = 1$

したがって、極大値は1です。

3. 最終的な答え

極大値: 1