次の関数の不定積分を求めます。 (1) $y = \frac{e^x}{1 + e^{2x}}$ (2) $y = \frac{1}{\tan x}$ (3) $y = \cos^{-1} x$

解析学不定積分置換積分部分積分三角関数逆三角関数
2025/7/29
はい、承知いたしました。問題文に記載されている11個の関数のうち、(1)から(3)までの不定積分を求めます。

1. 問題の内容

次の関数の不定積分を求めます。
(1) y=ex1+e2xy = \frac{e^x}{1 + e^{2x}}
(2) y=1tanxy = \frac{1}{\tan x}
(3) y=cos1xy = \cos^{-1} x

2. 解き方の手順

(1) y=ex1+e2xy = \frac{e^x}{1 + e^{2x}}
u=exu = e^x と置換すると、du=exdxdu = e^x dx より、
ex1+e2xdx=11+u2du=arctanu+C=arctan(ex)+C\int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} dx = \int \frac{1}{1 + u^2} du = \arctan u + C = \arctan(e^x) + C
(2) y=1tanxy = \frac{1}{\tan x}
1tanx=cosxsinx\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}なので、
1tanxdx=cosxsinxdx\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx
u=sinxu = \sin x と置換すると、du=cosxdxdu = \cos x dx より、
cosxsinxdx=1udu=lnu+C=lnsinx+C\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\sin x| + C
(3) y=cos1xy = \cos^{-1} x
部分積分を用います。udv=uvvdu\int u dv = uv - \int v du
u=cos1xu = \cos^{-1} xdv=dxdv = dx とすると、du=11x2dxdu = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dxv=xv = x より、
cos1xdx=xcos1xx(11x2)dx=xcos1x+x1x2dx\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \int x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) dx = x \cos^{-1} x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx
ここで、t=1x2t = 1 - x^2 と置換すると、dt=2xdxdt = -2x dx より、xdx=12dtx dx = -\frac{1}{2} dt
x1x2dx=12tdt=12t1/2dt=122t1/2+C=t+C=1x2+C\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 t^{1/2} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C
したがって、
cos1xdx=xcos1x1x2+C\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2} + C

3. 最終的な答え

(1) ex1+e2xdx=arctan(ex)+C\int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} dx = \arctan(e^x) + C
(2) 1tanxdx=lnsinx+C\int \frac{1}{\tan x} dx = \ln |\sin x| + C
(3) cos1xdx=xcos1x1x2+C\int \cos^{-1} x dx = x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2} + C

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