問題2の関数 $f(x) = \sin 2x$ および $f(x) = e^{2x}$ について、マクローリン展開を $n=3$ の項まで求めます。

1. 問題の内容

問題2の関数 $f(x) = \sin 2x$ および $f(x) = e^{2x}$ について、マクローリン展開を $n=3$ の項まで求めます。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。$n$ 次までのマクローリン展開は、以下の式で与えられます。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

a) $f(x) = \sin 2x$ の場合：

まず、導関数を求めます。

$f'(x) = 2\cos 2x$

$f''(x) = -4\sin 2x$

$f'''(x) = -8\cos 2x$

次に、$x=0$ における値を求めます。

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(0) = 2\cos(0) = 2$

$f''(0) = -4\sin(0) = 0$

$f'''(0) = -8\cos(0) = -8$

したがって、$n=3$ までのマクローリン展開は、

$f(x) \approx 0 + 2x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-8}{3!}x^3 = 2x - \frac{4}{3}x^3$

c) $f(x) = e^{2x}$ の場合：

まず、導関数を求めます。

$f'(x) = 2e^{2x}$

$f''(x) = 4e^{2x}$

$f'''(x) = 8e^{2x}$

次に、$x=0$ における値を求めます。

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(0) = 2e^0 = 2$

$f''(0) = 4e^0 = 4$

$f'''(0) = 8e^0 = 8$

したがって、$n=3$ までのマクローリン展開は、

$f(x) \approx 1 + 2x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{8}{3!}x^3 = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$

3. 最終的な答え

a) $f(x) = \sin 2x$ のマクローリン展開（$n=3$ まで）：

$2x - \frac{4}{3}x^3$

c) $f(x) = e^{2x}$ のマクローリン展開（$n=3$ まで）：

$1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$