関数 $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 2$ の極小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x + 2$ の極小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = -3x^2 + 12x - 9$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$-3x^2 + 12x - 9 = 0$

$-3(x^2 - 4x + 3) = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x-1)(x-3) = 0$

よって、$x = 1, 3$

(3) $x = 1$ と $x = 3$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べる。

$f'(x) = -3(x-1)(x-3)$

- $x < 1$ のとき、$f'(x) < 0$

- $1 < x < 3$ のとき、$f'(x) > 0$

- $x > 3$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$x = 1$ で極小値をとる。

(4) $f(1)$ を計算する。

$f(1) = -(1)^3 + 6(1)^2 - 9(1) + 2 = -1 + 6 - 9 + 2 = -2$

3. 最終的な答え

極小値：-2