関数 $f(x) = x^3 - 3x^2$ の極大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2$ の極大値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数の極大値を求めるには、以下の手順に従います。

ステップ1: 導関数を求める

$f(x) = x^3 - 3x^2$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$$f'(x) = 3x^2 - 6x$$

ステップ2: 導関数が0になる点を求める

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$$3x^2 - 6x = 0$$

$$3x(x - 2) = 0$$

よって、$x = 0$ または $x = 2$ です。

ステップ3: 第二次導関数を求める

$f'(x) = 3x^2 - 6x$ を微分して、第二次導関数 $f''(x)$ を求めます。

$$f''(x) = 6x - 6$$

ステップ4: 極大値・極小値を判定する

$f''(x)$ にステップ2で求めた $x$ の値を代入して、極大値・極小値を判定します。

* $x = 0$ のとき: $f''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0$ であるため、$x = 0$ で極大値を取ります。

* $x = 2$ のとき: $f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0$ であるため、$x = 2$ で極小値を取ります。

ステップ5: 極大値を求める

$x = 0$ で極大値を取るので、$f(x)$ に $x = 0$ を代入して、極大値を求めます。

$$f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 = 0$$

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2$ の極大値は $0$ です。