与えられた関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1$ の極大値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + 1$ の極大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 5x + 1) = 3x^2 - 6x + 5$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。これは極値の候補となる点です。

$3x^2 - 6x + 5 = 0$

(3) 上の二次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(5) = 36 - 60 = -24$

(4) 判別式 $D$ が負であるため、二次方程式 $3x^2 - 6x + 5 = 0$ は実数解を持ちません。したがって、関数 $f(x)$ は極値を持ちません。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 = 3(x^2 - 2x) + 5 = 3(x^2 - 2x + 1) - 3 + 5 = 3(x - 1)^2 + 2$

であるので、$f'(x) > 0$ となり常に増加関数である。

3. 最終的な答え

極大値は存在しない。