関数 $f(x) = x^3 - 3x^2$ の極小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2$ の極小値を求めよ。

2. 解き方の手順

極値を求めるためには、まず導関数を計算し、それが0になる点を求めます。

1. 導関数を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

2. 導関数が0になる点を求める。

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

3. 2次導関数を計算する。

$f''(x) = 6x - 6$

4. $x = 0$ と $x = 2$ における2次導関数の値を計算し、極大値と極小値を判断する。

$f''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0$

$f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0$

$f''(0) < 0$ なので、$x = 0$ で極大値を取る。

$f''(2) > 0$ なので、$x = 2$ で極小値を取る。

5. 極小値を求める。

$f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4$

3. 最終的な答え

極小値は $-4$ である。