関数 $f(x) = x^3 - x^2 + 1$ の極小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - x^2 + 1$ の極小値を求めよ。

2. 解き方の手順

1. まず、関数 $f(x)$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 2x$

2. 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは、極値をとる可能性のある $x$ の値です。

$3x^2 - 2x = 0$

$x(3x - 2) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = \frac{2}{3}$

3. $f'(x)$ の符号の変化を調べます。$x=0$ と $x=\frac{2}{3}$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べ、増減表を作成します。

* $x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$

* $0 < x < \frac{2}{3}$ のとき、$f'(x) < 0$

* $x > \frac{2}{3}$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = 0$ で極大、$x = \frac{2}{3}$ で極小となります。

4. 極小値は、$x = \frac{2}{3}$ のときの $f(x)$ の値です。

$f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 1$

$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} + 1$

$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{12}{27} + \frac{27}{27}$

$f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{23}{27}$

3. 最終的な答え

関数の極小値は $\frac{23}{27}$ である。