与えられた関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ について、増減表の空欄を埋める問題です。特に、$x$ の値が -2, 1 の時の $f(x)$ の値と、$f'(x)$ の符号を調べる必要があります。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ について、増減表の空欄を埋める問題です。特に、$x$ の値が -2, 1 の時の $f(x)$ の値と、$f'(x)$ の符号を調べる必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x+2)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = -2$ のときです。

次に、$f(x)$ の値を計算します。

$f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$

$f(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$

増減表を完成させるために、$f'(x)$ の符号を調べます。

- $x < -2$ のとき、$f'(x) > 0$ (例: $x = -3$ なら $f'(-3) = 3(-3)(-3+2) = 9 > 0$)

- $-2 < x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$ (例: $x = -1$ なら $f'(-1) = 3(-1)(-1+2) = -3 < 0$)

- $x > 0$ のとき、$f'(x) > 0$ (例: $x = 1$ なら $f'(1) = 3(1)(1+2) = 9 > 0$)

したがって、増減表は次のようになります。

- $x < -2$: $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加

- $x = -2$: $f'(x) = 0$, $f(x) = 0$

- $-2 < x < 0$: $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少

- $x = 0$: $f'(x) = 0$

- $x > 0$: $f'(x) > 0$

増減表の値から選択肢を選ぶと、

- $x=-2$ のとき、$f(x) = 0$, $f'(x) = 0$

- $x=1$ のとき、$f(x) = 0$

- $f'(x)$ の符号は、$-2$ の左で正($+$)、$-2$と$0$の間で負($-$)、$0$より右で正($+$)となる。

選択肢の中で、上記を満たすものは 3 です。

3. 最終的な答え

3