全体集合 $U$、部分集合 $A$, $B$ について、$n(U) = 100$, $n(A) = 50$, $n(B) = 30$ が与えられている。ただし、$A \cap B \neq \emptyset$ かつ $\overline{A} \cap B \neq \emptyset$ とする。$n(A \cup B)$ の最小値と最大値を求める問題。また、問題文中の空欄を埋める。

1. 問題の内容

全体集合 $U$、部分集合 $A$, $B$ について、$n(U) = 100$, $n(A) = 50$, $n(B) = 30$ が与えられている。ただし、$A \cap B \neq \emptyset$ かつ $\overline{A} \cap B \neq \emptyset$ とする。$n(A \cup B)$ の最小値と最大値を求める問題。また、問題文中の空欄を埋める。

2. 解き方の手順

まず、図を選ぶ問題から解く。

* $A \cap B = \emptyset$ を表す図は、AとBが重なっていない図なので、選択肢の(1)。したがって、ア = (1)。

* $\overline{A} \cap B = \emptyset$ を表す図は、BがAに含まれている図なので、選択肢の(2)。したがって、イ = (2)。

* $A \cap B \neq \emptyset$ は集合 $A \cap B$ に少なくとも一つの要素が属することを表している。したがって、ウ = (0)。

次に、$n(A \cup B)$ の最小値と最大値を考える。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ である。

* $n(A \cup B)$ が最小値をとるとき、$n(A \cap B)$ が最大値をとる。$n(A \cap B)$ の最大値は、$n(B) = 30$ であるから、$n(A \cap B) = 30$ となる。これは、$B \subseteq A$ の場合である。このとき、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 50 + 30 - 30 = 50$ となる。

したがって、エ = (0)。

* $n(A \cup B)$ が最大値をとるとき、$n(A \cap B)$ が最小値をとる。$A \cap B \neq \emptyset$ であるから、$n(A \cap B) \geq 1$ である。このとき、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 50 + 30 - n(A \cap B)$ となる。これが最大値をとるのは、$n(A \cap B)$ が最小値 $1$ をとるときなので、$n(A \cup B) = 50 + 30 - 1 = 79$ となる。

したがって、オ = (0)。

$n(A \cup B)$ の最小値は、$50$ であり、最大値は $79$ である。

したがって、カキ = 50、クケ = 79。

3. 最終的な答え

ア = (1)

イ = (2)

ウ = (0)

エ = (0)

オ = (0)

カキ = 50

クケ = 79