与えられた式 $2\sqrt{2} + \sqrt{512} - 3\sqrt{32}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2\sqrt{2} + \sqrt{512} - 3\sqrt{32}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号の中を素因数分解し、簡単にします。

$\sqrt{512}$ について：

$512 = 2^9 = 2^8 \cdot 2 = (2^4)^2 \cdot 2 = 16^2 \cdot 2$

よって、$\sqrt{512} = \sqrt{16^2 \cdot 2} = 16\sqrt{2}$

$\sqrt{32}$ について：

$32 = 2^5 = 2^4 \cdot 2 = (2^2)^2 \cdot 2 = 4^2 \cdot 2$

よって、$\sqrt{32} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

これらを用いて式を書き換えます。

$2\sqrt{2} + \sqrt{512} - 3\sqrt{32} = 2\sqrt{2} + 16\sqrt{2} - 3(4\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 16\sqrt{2} - 12\sqrt{2}$

$\sqrt{2}$ でくくると、

$(2+16-12)\sqrt{2} = (18-12)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{2}$