$\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ を小さい順に並べなさい。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ を小さい順に並べなさい。

2. 解き方の手順

まず、各数を指数で表します。

$\sqrt{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = (2^{-1})^{\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}} = (4^{-1})^{\frac{1}{3}} = (2^{-2})^{\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{2}{3}}$

$\sqrt[4]{\frac{1}{8}} = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{4}} = (8^{-1})^{\frac{1}{4}} = (2^{-3})^{\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{3}{4}}$

次に、指数 $-\frac{1}{2}$, $-\frac{2}{3}$, $-\frac{3}{4}$ を比較するために、分母を12に揃えます。

$-\frac{1}{2} = -\frac{6}{12}$

$-\frac{2}{3} = -\frac{8}{12}$

$-\frac{3}{4} = -\frac{9}{12}$

したがって、$2^{-\frac{6}{12}}$, $2^{-\frac{8}{12}}$, $2^{-\frac{9}{12}}$ を比較します。底が2で1より大きいので、指数が大きいほど値は小さくなります。

$-\frac{9}{12} < -\frac{8}{12} < -\frac{6}{12}$ より、$2^{-\frac{9}{12}} < 2^{-\frac{8}{12}} < 2^{-\frac{6}{12}}$

よって、$\sqrt[4]{\frac{1}{8}} < \sqrt[3]{\frac{1}{4}} < \sqrt{\frac{1}{2}}$

3. 最終的な答え

$\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$, $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$, $\sqrt{\frac{1}{2}}$