20から200までの自然数の中で、6で割ると4余る数の和を求める。

1. 問題の内容

20から200までの自然数の中で、6で割ると4余る数の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、6で割ると4余る数を一般的に $6n + 4$ と表すことができる。ここで、$n$ は整数である。

次に、20から200までの範囲に当てはまる$n$の範囲を求める。

最小の値を探す：

$6n + 4 \ge 20$

$6n \ge 16$

$n \ge \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \approx 2.67$

$n$ は整数なので、$n$ の最小値は3である。このとき、$6 \times 3 + 4 = 22$

最大の値を探す：

$6n + 4 \le 200$

$6n \le 196$

$n \le \frac{196}{6} = \frac{98}{3} \approx 32.67$

$n$ は整数なので、$n$ の最大値は32である。このとき、$6 \times 32 + 4 = 196$

したがって、求める和は、 $n=3$ から $n=32$ までの $6n + 4$ の和である。

$\sum_{n=3}^{32} (6n + 4) = \sum_{n=3}^{32} 6n + \sum_{n=3}^{32} 4$

$= 6 \sum_{n=3}^{32} n + 4 \sum_{n=3}^{32} 1$

$\sum_{n=3}^{32} n$ は、3から32までの整数の和である。

$\sum_{n=3}^{32} n = \sum_{n=1}^{32} n - \sum_{n=1}^{2} n = \frac{32(32+1)}{2} - \frac{2(2+1)}{2} = \frac{32 \times 33}{2} - \frac{2 \times 3}{2} = 16 \times 33 - 3 = 528 - 3 = 525$

$\sum_{n=3}^{32} 1$ は、3から32までの1の和である。つまり、1を(32-3+1)=30回足すことになる。

$\sum_{n=3}^{32} 1 = 32 - 3 + 1 = 30$

よって、求める和は

$6 \sum_{n=3}^{32} n + 4 \sum_{n=3}^{32} 1 = 6(525) + 4(30) = 3150 + 120 = 3270$

3. 最終的な答え

3270