$\sqrt{76-8n}$ が整数となるような、自然数 $n$ の値をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{76-8n}$ が整数となるような、自然数 $n$ の値をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{76-8n}$ が整数になるということは、$76-8n$ は0以上の平方数でなければなりません。

$76-8n = k^2$ とおきます。ここで、$k$ は0以上の整数です。

$76-8n \geq 0$ より、$8n \leq 76$ なので、$n \leq \frac{76}{8} = 9.5$ です。

$n$ は自然数なので、$1 \leq n \leq 9$ となります。

$76 - 8n = k^2$ より、$8n = 76 - k^2$ となります。

$8n$ は8の倍数なので、$76-k^2$ も8の倍数でなければなりません。つまり、$76-k^2 \equiv 0 \pmod{8}$

$76 \equiv 4 \pmod{8}$ なので、$k^2 \equiv 4 \pmod{8}$ となります。

$k^2$ を8で割った余りが4となるような整数 $k$ を探します。

$k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,...$ について、$k^2 = 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,...$ となります。

これらの数を8で割った余りは、$0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1, 0,...$ となります。

よって、$k \equiv 2 \pmod{4}$ つまり、$k = 2, 6$となります。

$k=2$ のとき、$76 - 8n = 4$ より、$8n = 72$ なので、$n = 9$。

$k=6$ のとき、$76 - 8n = 36$ より、$8n = 40$ なので、$n = 5$。

3. 最終的な答え

$n = 5, 9$