与えられた積分 $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x$ と $\cos x$ を半角の公式で書き換えます。

$\sin x = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

$\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$

これらを積分に代入すると、

$\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{1 + 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{1 + 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1} dx = \int \frac{1 + 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx$

$\int \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx + \int \frac{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{x}{2} dx + \int \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} dx$

ここで、$\int \sec^2 \frac{x}{2} dx = 2 \tan \frac{x}{2} + C_1$ および $\int \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} dx = \int \tan \frac{x}{2} dx = -2\ln |\cos \frac{x}{2}| + C_2$ であることを利用します。

すると、

$\frac{1}{2} (2 \tan \frac{x}{2}) - 2\ln |\cos \frac{x}{2}| + C = \tan \frac{x}{2} - 2\ln |\cos \frac{x}{2}| + C$

3. 最終的な答え

$\tan \frac{x}{2} - 2\ln |\cos \frac{x}{2}| + C$