$a < 0$ とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が15で、最小値が -3 であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

## 問題8

1. 問題の内容

$a < 0$ とする。関数 $y = ax^2 - 4ax + b$ ($0 \le x \le 5$) の最大値が15で、最小値が -3 であるとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = a(x^2 - 4x) + b = a(x^2 - 4x + 4 - 4) + b = a(x - 2)^2 - 4a + b$

グラフの軸は $x = 2$ です。定義域は $0 \le x \le 5$ であり、$a < 0$ であるため、グラフは上に凸の放物線となります。

したがって、頂点で最大値をとり、$x = 5$ で最小値をとります。

最大値は $x=2$のときなので、 $-4a + b = 15$となります。

最小値は $x=5$のときなので、$a(5-2)^2 - 4a + b = 9a - 4a + b = 5a + b = -3$となります。

2つの式を連立方程式として解きます。

$-4a + b = 15$

$5a + b = -3$

2式を引き算すると、

$-9a = 18$

$a = -2$

$5(-2) + b = -3$

$-10 + b = -3$

$b = 7$

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = 7$