数列 $a_n$ が与えられており、$a_n = 2^n b_n$ の関係があります。$a_n$ の式を簡略化する問題です。途中式が与えられており、それを計算して最終的な式を求めます。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が与えられており、$a_n = 2^n b_n$ の関係があります。$a_n$ の式を簡略化する問題です。途中式が与えられており、それを計算して最終的な式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を以下に示します。

$a_n = \frac{1}{6} \left\{ 2^n - 2^n \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} \right\}$

この式を簡略化します。

まず、第2項の $2^n$ と $2^{n-1}$ を約分します。

$\frac{2^n}{2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2^1 = 2$

すると、式は次のようになります。

$a_n = \frac{1}{6} \left\{ 2^n - 2 \cdot (-1)^{n-1} \right\}$

次に、全体を2で括りだします。

$a_n = \frac{1}{6} \cdot 2 \left\{ 2^{n-1} - (-1)^{n-1} \right\}$

$a_n = \frac{1}{3} \left\{ 2^{n-1} - (-1)^{n-1} \right\}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1}{3} \left\{ 2^{n-1} - (-1)^{n-1} \right\}$