## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

1. $f(x, y) = x^2 - 6xy + 10y^2 - 2x + 2y + 2$ の最小値と、そのときの $x, y$ の値を求める。

2. $0 \le x \le 1$、 $0 \le y \le 2$ の範囲で、$f(x, y) = 3x^2 - 2xy - 2x + \frac{3}{2}y + 2$ の最小値を求める。

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2. 解き方の手順

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1. 問題1

まず、$f(x,y)$ を $x$ について平方完成します。

$f(x, y) = (x^2 - (6y + 2)x) + 10y^2 + 2y + 2$

$f(x, y) = (x - (3y + 1))^2 - (3y + 1)^2 + 10y^2 + 2y + 2$

$f(x, y) = (x - (3y + 1))^2 - (9y^2 + 6y + 1) + 10y^2 + 2y + 2$

$f(x, y) = (x - (3y + 1))^2 + y^2 - 4y + 1$

次に、$y^2 - 4y + 1$ を平方完成します。

$f(x, y) = (x - (3y + 1))^2 + (y - 2)^2 - 4 + 1$

$f(x, y) = (x - (3y + 1))^2 + (y - 2)^2 - 3$

$f(x,y)$ が最小となるのは、$(x - (3y + 1))^2 = 0$ かつ $(y - 2)^2 = 0$ のときです。

したがって、$y = 2$ であり、$x = 3y + 1 = 3(2) + 1 = 7$ です。

このとき、最小値は $-3$ です。

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2. 問題2

$f(x, y) = 3x^2 - 2xy - 2x + \frac{3}{2}y + 2$ を $x$ について平方完成します。

$f(x, y) = 3(x^2 - \frac{2}{3}xy - \frac{2}{3}x) + \frac{3}{2}y + 2$

$f(x, y) = 3(x - \frac{1}{3}y - \frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{3}y + \frac{1}{3})^2 + \frac{3}{2}y + 2$

$f(x, y) = 3(x - \frac{1}{3}y - \frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{9}y^2 + \frac{2}{9}y + \frac{1}{9}) + \frac{3}{2}y + 2$

$f(x, y) = 3(x - \frac{1}{3}y - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3}y^2 - \frac{2}{3}y - \frac{1}{3} + \frac{3}{2}y + 2$

$f(x, y) = 3(x - \frac{1}{3}y - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3}y^2 + \frac{5}{6}y + \frac{5}{3}$

次に、$-\frac{1}{3}y^2 + \frac{5}{6}y + \frac{5}{3}$ を平方完成します。

$-\frac{1}{3}y^2 + \frac{5}{6}y + \frac{5}{3} = -\frac{1}{3}(y^2 - \frac{5}{2}y) + \frac{5}{3}$

$= -\frac{1}{3}(y - \frac{5}{4})^2 + \frac{1}{3}(\frac{25}{16}) + \frac{5}{3} = -\frac{1}{3}(y - \frac{5}{4})^2 + \frac{25}{48} + \frac{80}{48} = -\frac{1}{3}(y - \frac{5}{4})^2 + \frac{105}{48}$

$f(x, y) = 3(x - \frac{1}{3}y - \frac{1}{3})^2 -\frac{1}{3}(y - \frac{5}{4})^2 + \frac{35}{16}$

$0 \le x \le 1$、 $0 \le y \le 2$ の範囲で最小値を求める。

$y = 2$ のとき、$x=0$とすると

$f(0,2) = 3(0)^2 - 2(0)(2) - 2(0) + \frac{3}{2}(2) + 2 = 3+2 = 5$

$x=1$ のとき、$y=0$とすると

$f(1,0) = 3(1)^2 - 2(1)(0) - 2(1) + \frac{3}{2}(0) + 2 = 3 - 2 + 2 = 3$

$f(x,0) = 3x^2-2x+2$, $f'(x,0)=6x-2$, $x=\frac{1}{3}$, $f(\frac{1}{3},0) = 3(\frac{1}{9}) - \frac{2}{3}+2=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+2 = \frac{5}{3}$

$f(x,2) = 3x^2-4x+5$, $f'(x,2)=6x-4$, $x=\frac{2}{3}$, $f(\frac{2}{3},2) = 3(\frac{4}{9}) - 4(\frac{2}{3})+5 = \frac{4}{3}-\frac{8}{3}+5 = -\frac{4}{3}+5 = \frac{11}{3}$

$f(0,y) = \frac{3}{2}y+2$, $f(0,0)=2$, $f(0,2) = 5$

$f(1,y) = 3-2y-2+\frac{3}{2}y+2 = 3-\frac{1}{2}y$, $f(1,0)=3$, $f(1,2) = 2$

最小値は

2.

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3. 最終的な答え

1. 最小値: $-3$, そのときの $x = 7$, $y = 2$

2. 最小値: $2$