(1) 第3項が10、初項から第6項までの和が72である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。 (2) 初項から第3項までの和が9、初項から第6項までの和が-63である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。 (3) 初項が32、公差が-3の等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第何項までの和が最大となるか。また、和の最大値を求める。 (4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{3k-1}+\sqrt{3k+2}}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) 第3項が10、初項から第6項までの和が72である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

(2) 初項から第3項までの和が9、初項から第6項までの和が-63である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

(3) 初項が32、公差が-3の等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第何項までの和が最大となるか。また、和の最大値を求める。

(4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{3k-1}+\sqrt{3k+2}}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の初項を $a$、公差を $d$ とすると、第3項は $a+2d=10$ である。初項から第6項までの和は $\frac{6}{2}(2a+(6-1)d) = 3(2a+5d) = 72$。したがって、 $2a+5d = 24$ である。連立方程式

$a+2d=10$

$2a+5d=24$

を解く。一つ目の式を2倍して、$2a+4d=20$。二つ目の式から引くと、 $d=4$。したがって、$a = 10-2(4) = 2$。一般項は $a_n = a + (n-1)d = 2+(n-1)4 = 4n-2$。

(2) 等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とする。初項から第3項までの和は $a+ar+ar^2 = a(1+r+r^2) = 9$。初項から第6項までの和は $a+ar+ar^2+ar^3+ar^4+ar^5 = a(1+r+r^2)(1+r^3) = -63$。

$\frac{a(1+r+r^2)(1+r^3)}{a(1+r+r^2)} = \frac{-63}{9} = -7$

$1+r^3 = -7$

$r^3 = -8$

$r = -2$。

$a(1+(-2)+(-2)^2) = a(1-2+4) = 3a = 9$

$a = 3$。

一般項は $a_n = a r^{n-1} = 3(-2)^{n-1}$。

(3) 初項が32、公差が-3の等差数列 $\{a_n\}$ を考える。$a_n = 32 + (n-1)(-3) = 32 - 3n + 3 = 35-3n$。和が最大になるのは、$a_n \ge 0$ となる最大の $n$ まで足し合わせるときである。

$35-3n \ge 0$

$3n \le 35$

$n \le \frac{35}{3} = 11.666...$

$n=11$。

第11項までの和が最大となる。和の最大値は

$S_{11} = \frac{11}{2}(2(32)+(11-1)(-3)) = \frac{11}{2}(64-30) = \frac{11}{2}(34) = 11(17) = 187$。

(4) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{3k-1}+\sqrt{3k+2}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{3k+2}-\sqrt{3k-1}}{(\sqrt{3k+2}+\sqrt{3k-1})(\sqrt{3k+2}-\sqrt{3k-1})} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{3k+2}-\sqrt{3k-1}}{(3k+2)-(3k-1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{3k+2}-\sqrt{3k-1}}{3} = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{3k+2}-\sqrt{3k-1})$。これはtelescoping sumなので、

$\frac{1}{3} [(\sqrt{5}-\sqrt{2}) + (\sqrt{8}-\sqrt{5}) + (\sqrt{11}-\sqrt{8}) + \dots + (\sqrt{3n+2}-\sqrt{3n-1})] = \frac{1}{3}(\sqrt{3n+2}-\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4n-2$

(2) $a_n = 3(-2)^{n-1}$

(3) 第11項まで, 和の最大値は187

(4) $\frac{\sqrt{3n+2}-\sqrt{2}}{3}$