$f(x) = x^2 + ax + b$ とする。$x^{2025}$ を $f(x)$ で割った余りが $2x+1$ であり、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りが $x+2$ となるような $a, b$ は存在しないことを示す。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 + ax + b$ とする。$x^{2025}$ を $f(x)$ で割った余りが $2x+1$ であり、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りが $x+2$ となるような $a, b$ は存在しないことを示す。

2. 解き方の手順

$x^{2025}$ を $f(x)$ で割った余りが $2x+1$ なので、ある多項式 $Q_1(x)$ を用いて

$$x^{2025} = f(x)Q_1(x) + 2x+1$$

と表せる。同様に、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りが $x+2$ なので、ある多項式 $Q_2(x)$ を用いて

$$x^{2026} = f(x)Q_2(x) + x+2$$

と表せる。

$x^{2026} = x \cdot x^{2025}$ であるから、

$$x(f(x)Q_1(x) + 2x+1) = f(x)Q_2(x) + x+2$$

$$xf(x)Q_1(x) + 2x^2 + x = f(x)Q_2(x) + x+2$$

$$2x^2 = f(x)Q_2(x) - xf(x)Q_1(x) - x + 2$$

$$2x^2 = f(x)(Q_2(x) - xQ_1(x)) - x + 2$$

$f(x) = x^2 + ax + b$ を代入すると、

$$2x^2 = (x^2+ax+b)(Q_2(x) - xQ_1(x)) - x + 2$$

ここで、$Q(x) = Q_2(x) - xQ_1(x)$ とおくと、

$$2x^2 = (x^2+ax+b)Q(x) - x + 2$$

$x^2+ax+b$ は2次式なので、$(x^2+ax+b)Q(x)$ が $2x^2$ という2次式になるためには、$Q(x)$ は定数でなければならない。

$Q(x) = c$ とおくと、

$$2x^2 = (x^2+ax+b)c - x + 2$$

$$2x^2 = cx^2 + acx + bc - x + 2$$

$$2x^2 = cx^2 + (ac-1)x + (bc+2)$$

この等式が成り立つためには、$x^2$, $x$, 定数項の係数がそれぞれ等しくなければならない。したがって、

\begin{cases}

c = 2 \\

ac-1 = 0 \\

bc+2 = 0

\end{cases}

$c=2$ なので、

\begin{cases}

2a - 1 = 0 \\

2b + 2 = 0

\end{cases}

\begin{cases}

a = \frac{1}{2} \\

b = -1

\end{cases}

したがって、$f(x) = x^2 + \frac{1}{2}x - 1$ である。

ここで、$x^{2025} = (x^2 + \frac{1}{2}x - 1)Q_1(x) + 2x+1$ を考える。

$x^{2026} = x^{2025} \cdot x = (x^2 + \frac{1}{2}x - 1)Q_1(x) \cdot x + (2x+1)x = (x^2 + \frac{1}{2}x - 1)Q_1(x) \cdot x + 2x^2 + x$

$2x^2 + x = 2(x^2 + \frac{1}{2}x - 1) + 2 = 2f(x) + 2$

したがって、$x^{2026} = f(x)Q_1(x)x + 2f(x) + 2 = f(x)(xQ_1(x) + 2) + 2$

これは、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りが $2$ であることを意味する。

しかし、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りは $x+2$ であるという仮定と矛盾する。

したがって、$a, b$ は存在しない。

3. 最終的な答え

そのような $a, b$ は存在しない。