$f(x) = x^2 + ax + b$ とする。$x^{2025}$ を $f(x)$ で割った余りが $2x+1$ で、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りが $x+2$ となるような $a, b$ が存在しないことを示す。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 + ax + b$ とする。$x^{2025}$ を $f(x)$ で割った余りが $2x+1$ で、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りが $x+2$ となるような $a, b$ が存在しないことを示す。

2. 解き方の手順

$x^{2025}$ を $f(x)$ で割った商を $q_1(x)$ とすると、

$x^{2025} = f(x)q_1(x) + 2x + 1$

$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った商を $q_2(x)$ とすると、

$x^{2026} = f(x)q_2(x) + x + 2$

$x^{2026} = x \cdot x^{2025} = x(f(x)q_1(x) + 2x + 1) = xf(x)q_1(x) + 2x^2 + x$

$2x^2 + x = 2(f(x) - ax - b) + x = 2f(x) - 2ax - 2b + x$

$x^{2026} = xf(x)q_1(x) + 2f(x) - 2ax - 2b + x = f(x)(xq_1(x) + 2) + (1-2a)x - 2b$

したがって、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りは $(1-2a)x - 2b$ となる。

問題文より、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りは $x+2$ であるから、

$(1-2a)x - 2b = x + 2$

係数を比較して、

$1 - 2a = 1$

$-2b = 2$

よって、

$a = 0$

$b = -1$

したがって、$f(x) = x^2 - 1$ となる。

$x^{2025} = (x^2 - 1)q_1(x) + 2x + 1$ に $x=1$ を代入すると、

$1 = 2(1) + 1 = 3$ となり矛盾。

$x^{2025} = (x^2 - 1)q_1(x) + 2x + 1$ に $x=-1$ を代入すると、

$-1 = -2 + 1 = -1$ となる。

しかし、$f(x)$ の解 $x = \pm 1$ で余りが一致しないので矛盾。

よって、$a, b$ は存在しない。

3. 最終的な答え

$x^{2025}$ を $f(x)$ で割った余りが $2x+1$ で、$x^{2026}$ を $f(x)$ で割った余りが $x+2$ となるような $a, b$ は存在しない。