$x$ についての不等式 $x^2 - (a+1)x + a < 0$ と $3x^2 + 2x - 1 > 0$ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど3つ存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ についての不等式 $x^2 - (a+1)x + a < 0$ と $3x^2 + 2x - 1 > 0$ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど3つ存在するような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの不等式をそれぞれ解きます。

1つ目の不等式: $x^2 - (a+1)x + a < 0$

これは因数分解できて、$(x-1)(x-a) < 0$ となります。

$a$ の値によって場合分けが必要です。

2つ目の不等式: $3x^2 + 2x - 1 > 0$

これも因数分解できて、$(3x - 1)(x + 1) > 0$ となります。

よって、$x < -1$ または $x > \frac{1}{3}$ です。

場合分けを行います。

(1) $a < 1$ のとき

$a < x < 1$ と $x < -1$ または $x > \frac{1}{3}$ を同時に満たす整数が3つとなるように $a$ の範囲を決定します。$a < x < 1$ と $x < -1$ は同時に満たせないので、$a < x < 1$ と $x > \frac{1}{3}$ の共通部分を考えます。

$\frac{1}{3} < x < 1$ の範囲には整数は存在しません。したがって、$a < 1$ の場合は条件を満たしません。

(2) $a = 1$ のとき

$(x-1)^2 < 0$ となりますが、これを満たす実数 $x$ は存在しません。したがって、$a=1$ の場合は条件を満たしません。

(3) $a > 1$ のとき

$1 < x < a$ と $x < -1$ または $x > \frac{1}{3}$ を同時に満たす整数が3つとなるように $a$ の範囲を決定します。$1 < x < a$ と $x < -1$ は同時に満たせないので、$1 < x < a$ と $x > \frac{1}{3}$ の共通部分を考えます。つまり、$1 < x < a$ を考えます。

$x$ が整数であることから、$x=2,3,4$ が条件を満たす整数となります。

したがって、$4 < a \le 5$ となる必要があります。$a=5$の時、$1 < x < 5$より、$x=2,3,4$となり、条件を満たします。もし$a=4$の場合は、$1 < x < 4$より、$x=2,3$となり、整数が３つ存在するという条件を満たしません。

3. 最終的な答え

$4 < a \le 5$