数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が、$S_n = -6 + 2n - a_n$ ($n \geq 1$)で表されている。 (1) 初項$a_1$を求めよ。 (2) $a_n$と$a_{n+1}$のみたす関係式を求めよ。 (3) $a_n$を$n$で表せ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が、$S_n = -6 + 2n - a_n$ ($n \geq 1$)で表されている。

(1) 初項$a_1$を求めよ。

(2) $a_n$と$a_{n+1}$のみたす関係式を求めよ。

(3) $a_n$を$n$で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 初項$a_1$を求める。

$S_n = -6 + 2n - a_n$に$n=1$を代入すると、

$S_1 = -6 + 2(1) - a_1$

$S_1 = a_1$であるから、

$a_1 = -6 + 2 - a_1$

$2a_1 = -4$

$a_1 = -2$

(2) $a_n$と$a_{n+1}$の関係式を求める。

$S_n = -6 + 2n - a_n$

$S_{n+1} = -6 + 2(n+1) - a_{n+1} = -6 + 2n + 2 - a_{n+1}$

$S_{n+1} - S_n = a_{n+1}$であるから、

$a_{n+1} = (-6 + 2n + 2 - a_{n+1}) - (-6 + 2n - a_n)$

$a_{n+1} = -6 + 2n + 2 - a_{n+1} + 6 - 2n + a_n$

$a_{n+1} = 2 - a_{n+1} + a_n$

$2a_{n+1} = a_n + 2$

(3) $a_n$を$n$で表す。

$2a_{n+1} = a_n + 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$

$a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}(a_n - 2)$

$b_n = a_n - 2$とすると、$b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$

数列$\{b_n\}$は公比$\frac{1}{2}$の等比数列である。

$b_1 = a_1 - 2 = -2 - 2 = -4$

$b_n = b_1(\frac{1}{2})^{n-1} = -4(\frac{1}{2})^{n-1} = -2^{2-n+1} = -2^{3-n}$

$a_n = b_n + 2 = -2^{3-n} + 2 = 2 - 2^{3-n}$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = -2$

(2) $2a_{n+1} = a_n + 2$

(3) $a_n = 2 - 2^{3-n}$