多項式 $A$ を求める問題です。 (1) $A$ を $x+2$ で割ると、商が $x+3$, 余りが $-1$ (2) $A$ を $x^2+2x+3$ で割ると、商が $x-1$, 余りが $2x+3$

1. 問題の内容

多項式 $A$ を求める問題です。

(1) $A$ を $x+2$ で割ると、商が $x+3$, 余りが $-1$

(2) $A$ を $x^2+2x+3$ で割ると、商が $x-1$, 余りが $2x+3$

2. 解き方の手順

(1) 割り算の原理より、割られる数 = 割る数 × 商 + 余り なので、$A$ は次のように表せます。

$A = (x+2)(x+3) + (-1)$

これを展開して整理します。

$A = x^2 + 3x + 2x + 6 - 1$

$A = x^2 + 5x + 5$

(2) 同様に、$A$ は次のように表せます。

$A = (x^2+2x+3)(x-1) + (2x+3)$

これを展開して整理します。

$A = x^3 - x^2 + 2x^2 - 2x + 3x - 3 + 2x + 3$

$A = x^3 + x^2 + 3x$

3. 最終的な答え

(1) $A = x^2 + 5x + 5$

(2) $A = x^3 + x^2 + 3x$