与えられた行列 $A$ に対して、$A^n$ を計算する問題です。行列 $A$ は2種類あります。 (1) $A = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$ (2) $A = \begin{bmatrix} 13 & -30 \\ 5 & -12 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、$A^n$ を計算する問題です。行列 $A$ は2種類あります。

(1) $A = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$

(2) $A = \begin{bmatrix} 13 & -30 \\ 5 & -12 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

$A$ を対角化可能な行列 $P$ と対角行列 $D$ を用いて $A = PDP^{-1}$ の形に変形します。すると $A^n = PD^nP^{-1}$ となり、$A^n$ を計算できます。

(1) $A = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$の場合：

まず、固有値を求めます。

固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ であり、

$\begin{vmatrix} 7-\lambda & -6 \\ 3 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (7-\lambda)(-2-\lambda) - (-6)(3) = -14 - 7\lambda + 2\lambda + \lambda^2 + 18 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 4$ です。

次に、固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 1$ のとき、$(A - I)v_1 = 0$ より

$\begin{bmatrix} 6 & -6 \\ 3 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$6x - 6y = 0$ より $x = y$ なので、$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\lambda_2 = 4$ のとき、$(A - 4I)v_2 = 0$ より

$\begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 3 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$3x - 6y = 0$ より $x = 2y$ なので、$v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ とすると、$P^{-1} = \frac{1}{(1)(1) - (2)(1)} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

$D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$

$A^n = PD^nP^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1^n & 0 \\ 0 & 4^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \cdot 4^n \\ 1 & 4^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 2 \cdot 4^n & 2 - 2 \cdot 4^n \\ -1 + 4^n & 2 - 4^n \end{bmatrix}$

(2) $A = \begin{bmatrix} 13 & -30 \\ 5 & -12 \end{bmatrix}$の場合：

固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ であり、

$\begin{vmatrix} 13-\lambda & -30 \\ 5 & -12-\lambda \end{vmatrix} = (13-\lambda)(-12-\lambda) - (-30)(5) = -156 - 13\lambda + 12\lambda + \lambda^2 + 150 = \lambda^2 - \lambda - 6 = (\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -2$ です。

$\lambda_1 = 3$ のとき、$(A - 3I)v_1 = 0$ より

$\begin{bmatrix} 10 & -30 \\ 5 & -15 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$10x - 30y = 0$ より $x = 3y$ なので、$v_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\lambda_2 = -2$ のとき、$(A + 2I)v_2 = 0$ より

$\begin{bmatrix} 15 & -30 \\ 5 & -10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$15x - 30y = 0$ より $x = 2y$ なので、$v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$P = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ とすると、$P^{-1} = \frac{1}{(3)(1) - (2)(1)} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$

$D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$

$A^n = PD^nP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-2)^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3^{n+1} & 2(-2)^n \\ 3^n & (-2)^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3^{n+1} - 2(-2)^n & -2 \cdot 3^{n+1} + 6(-2)^n \\ 3^n - (-2)^n & -2 \cdot 3^n + 3(-2)^n \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^n = \begin{bmatrix} -1 + 2 \cdot 4^n & 2 - 2 \cdot 4^n \\ -1 + 4^n & 2 - 4^n \end{bmatrix}$

(2) $A^n = \begin{bmatrix} 3^{n+1} - 2(-2)^n & -2 \cdot 3^{n+1} + 6(-2)^n \\ 3^n - (-2)^n & -2 \cdot 3^n + 3(-2)^n \end{bmatrix}$