与えられた10個の数学の問題について、それぞれ正しい選択肢を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の数学の問題について、それぞれ正しい選択肢を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

各問題について、以下のように解いていきます。

(1) $2(a+b) - 3(a-b)$ を展開して整理します。

$2a + 2b - 3a + 3b = -a + 5b$

よって、③が正解です。

(2) $(x+2)(x+3)$ を展開します。

$x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

よって、①が正解です。

(3) $a=2$, $b=-5$ のとき $2ab - b^2$ の値を計算します。

$2ab - b^2 = 2(2)(-5) - (-5)^2 = -20 - 25 = -45$

よって、②が正解です。

(4) $x^2+3x+2$を因数分解します。

$x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$

よって、④が正解です。

(5) $(x-2)^2 - 3 = 0$ を解きます。

$(x-2)^2 = 3$

$x-2 = \pm\sqrt{3}$

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

よって、③が正解です。

(6) $y = 2x^2 + 1$ の頂点を求めます。

$y = 2(x-0)^2 + 1$ より、頂点は $(0, 1)$ です。

よって、①が正解です。

(7) $y = -3(x-2)^2 + 2$ の最大値を求めます。

$(x-2)^2$ は常に0以上なので $-3(x-2)^2$ は常に0以下です。

よって、$y$ の最大値は $x=2$ のときの $2$ です。

よって、①が正解です。

(8) $\sin 60^\circ$ の値を求めます。

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、②が正解です。

(9) $\theta$ が鈍角で $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\tan \theta$ を求めます。

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ より、$\cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\theta$ は鈍角なので $\cos \theta < 0$ です。よって、$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{-2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

よって、②が正解です。

(10) $x=3 \implies x^2=9$ の命題の対偶を求めます。

対偶は $\neg (x^2=9) \implies \neg (x=3)$ であり、これは $x^2 \neq 9 \implies x \neq 3$ です。

よって、④が正解です。

3. 最終的な答え

(1) ③

(2) ①

(3) ②

(4) ④

(5) ③

(6) ①

(7) ①

(8) ②

(9) ②

(10) ④