与えられたベクトル $\vec{c}$ と行列 $A$, $B$ に対して、以下の行列の積を計算します。 (i) $AB$ (ii) $Bc$ (iii) ${}^tAc$ (iv) $c{}^t cA$ 計算不能の場合は「計算不能」と答えます。 与えられた値は以下の通りです。 $\vec{c} = \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{bmatrix}$, $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 0 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\vec{c}$ と行列 $A$, $B$ に対して、以下の行列の積を計算します。

(i) $AB$

(ii) $Bc$

(iii) ${}^tAc$

(iv) $c{}^t cA$

計算不能の場合は「計算不能」と答えます。

与えられた値は以下の通りです。

$\vec{c} = \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{bmatrix}$, $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 0 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(i) $AB$ の計算

$A$ は $3 \times 3$ 行列、$B$ は $3 \times 2$ 行列なので、積 $AB$ は $3 \times 2$ 行列として計算できます。

$AB = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(0) + (0)(2) + (3)(-7) & (3)(1) + (0)(2) + (3)(5) \\ (1)(0) + (-1)(2) + (2)(-7) & (1)(1) + (-1)(2) + (2)(5) \\ (-3)(0) + (3)(2) + (0)(-7) & (-3)(1) + (3)(2) + (0)(5) \end{bmatrix}$

$AB = \begin{bmatrix} 0 + 0 - 21 & 3 + 0 + 15 \\ 0 - 2 - 14 & 1 - 2 + 10 \\ 0 + 6 + 0 & -3 + 6 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -21 & 18 \\ -16 & 9 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$

(ii) $Bc$ の計算

$B$ は $3 \times 2$ 行列、$\vec{c}$ は $3 \times 1$ ベクトルなので、$Bc$ は計算できません。

$B$ の列数と $c$ の行数が一致しないため、計算不能です。

(iii) ${}^tAc$ の計算

${}^tA$ は $A$ の転置行列なので、$3 \times 3$ 行列です。 $\vec{c}$ は $3 \times 1$ ベクトルなので、$({}^tA)\vec{c}$ は $3 \times 1$ ベクトルとして計算できます。

${}^tA = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

${}^tAc = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(-1) + (1)(-4) + (-3)(0) \\ (0)(-1) + (-1)(-4) + (3)(0) \\ (3)(-1) + (2)(-4) + (0)(0) \end{bmatrix}$

${}^tAc = \begin{bmatrix} -3 - 4 + 0 \\ 0 + 4 + 0 \\ -3 - 8 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 4 \\ -11 \end{bmatrix}$

(iv) $c{}^tcA$ の計算

まず、${}^t c$ を計算します。$\vec{c}$ は $3 \times 1$ ベクトルなので、${}^t c$ は $1 \times 3$ 行列です。

${}^t c = \begin{bmatrix} -1 & -4 & 0 \end{bmatrix}$

次に、$c{}^t c$ を計算します。これは $(3 \times 1)(1 \times 3)$ なので $3 \times 3$ 行列になります。

$c{}^t c = \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

最後に、$c{}^t cA$ を計算します。これは $(3 \times 3)(3 \times 3)$ なので、$3 \times 3$ 行列になります。

$c{}^t cA = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(3) + (4)(1) + (0)(-3) & (1)(0) + (4)(-1) + (0)(3) & (1)(3) + (4)(2) + (0)(0) \\ (4)(3) + (16)(1) + (0)(-3) & (4)(0) + (16)(-1) + (0)(3) & (4)(3) + (16)(2) + (0)(0) \\ (0)(3) + (0)(1) + (0)(-3) & (0)(0) + (0)(-1) + (0)(3) & (0)(3) + (0)(2) + (0)(0) \end{bmatrix}$

$c{}^t cA = \begin{bmatrix} 3 + 4 + 0 & 0 - 4 + 0 & 3 + 8 + 0 \\ 12 + 16 + 0 & 0 - 16 + 0 & 12 + 32 + 0 \\ 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -4 & 11 \\ 28 & -16 & 44 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(i) $AB = \begin{bmatrix} -21 & 18 \\ -16 & 9 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$

(ii) 計算不能

(iii) ${}^tAc = \begin{bmatrix} -7 \\ 4 \\ -11 \end{bmatrix}$

(iv) $c{}^t cA = \begin{bmatrix} 7 & -4 & 11 \\ 28 & -16 & 44 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$