(2) 次の連立一次方程式の解を、掃き出し法を用いて求めよ。 $ \begin{cases} 2x - y - z = 3 \\ -3x + 2y + z = -4 \\ x - z = 2 \end{cases} $ (3) (2)と同じ係数行列を持つ同次連立一次方程式（付随する同次方程式）の解を求めよ。 $ \begin{cases} 2x - y - z = 0 \\ -3x + 2y + z = 0 \\ x - z = 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

(2) 次の連立一次方程式の解を、掃き出し法を用いて求めよ。

$$

\begin{cases}

2x - y - z = 3 \\

-3x + 2y + z = -4 \\

x - z = 2

\end{cases}

$$

(3) (2)と同じ係数行列を持つ同次連立一次方程式（付随する同次方程式）の解を求めよ。

$$

\begin{cases}

2x - y - z = 0 \\

-3x + 2y + z = 0 \\

x - z = 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(2)

与えられた連立一次方程式を掃き出し法で解きます。まず、拡大係数行列を作成します。

$$

\begin{bmatrix}

2 & -1 & -1 & 3 \\

-3 & 2 & 1 & -4 \\

1 & 0 & -1 & 2

\end{bmatrix}

$$

1行目と3行目を入れ替えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

-3 & 2 & 1 & -4 \\

2 & -1 & -1 & 3

\end{bmatrix}

$$

2行目に1行目の3倍を加えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 2 & -2 & 2 \\

2 & -1 & -1 & 3

\end{bmatrix}

$$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 2 & -2 & 2 \\

0 & -1 & 1 & -1

\end{bmatrix}

$$

2行目を2で割ります。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 1 & -1 & 1 \\

0 & -1 & 1 & -1

\end{bmatrix}

$$

3行目に2行目を加えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

この行列は、$x - z = 2$と$y - z = 1$を表しています。

$z = t$とすると、$x = t + 2$、$y = t + 1$となります。

(3)

与えられた同次連立一次方程式を解きます。係数行列は(2)と同じです。

$$

\begin{cases}

2x - y - z = 0 \\

-3x + 2y + z = 0 \\

x - z = 0

\end{cases}

$$

拡大係数行列は

$$

\begin{bmatrix}

2 & -1 & -1 & 0 \\

-3 & 2 & 1 & 0 \\

1 & 0 & -1 & 0

\end{bmatrix}

$$

(2)と同様の操作を行います。

1行目と3行目を入れ替えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 \\

-3 & 2 & 1 & 0 \\

2 & -1 & -1 & 0

\end{bmatrix}

$$

2行目に1行目の3倍を加えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 2 & -2 & 0 \\

2 & -1 & -1 & 0

\end{bmatrix}

$$

3行目から1行目の2倍を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 2 & -2 & 0 \\

0 & -1 & 1 & 0

\end{bmatrix}

$$

2行目を2で割ります。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & -1 & 1 & 0

\end{bmatrix}

$$

3行目に2行目を加えます。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 1 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

この行列は、$x - z = 0$と$y - z = 0$を表しています。

$z = t$とすると、$x = t$、$y = t$となります。

3. 最終的な答え

(2) $x = t + 2, y = t + 1, z = t$ (tは任意の実数)

(3) $x = t, y = t, z = t$ (tは任意の実数)