ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を求める問題です。 (i) $\lVert \vec{a} \rVert$ (ii) $(\vec{a}, \vec{b})$ (内積) (iii) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ がなす角を $\theta$ とするときの $\cos \theta$ (iv) $\vec{a} \times \vec{b}$ (外積) (v) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$ が与えられたとき、以下の値を求める問題です。

(i) $\lVert \vec{a} \rVert$

(ii) $(\vec{a}, \vec{b})$ (内積)

(iii) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ がなす角を $\theta$ とするときの $\cos \theta$

(iv) $\vec{a} \times \vec{b}$ (外積)

(v) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を2辺とする平行四辺形の面積

2. 解き方の手順

(i) $\lVert \vec{a} \rVert$ (ベクトルの大きさ)

$\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$

(ii) $(\vec{a}, \vec{b})$ (内積)

$(\vec{a}, \vec{b}) = (-4)(-1) + (1)(3) + (-2)(0) = 4 + 3 + 0 = 7$

(iii) $\cos \theta$

$\cos \theta = \frac{(\vec{a}, \vec{b})}{\lVert \vec{a} \rVert \lVert \vec{b} \rVert}$

$\lVert \vec{b} \rVert = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 9 + 0} = \sqrt{10}$

$\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{21} \sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{210}}$

(iv) $\vec{a} \times \vec{b}$ (外積)

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} (1)(0) - (-2)(3) \\ (-2)(-1) - (-4)(0) \\ (-4)(3) - (1)(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 + 6 \\ 2 - 0 \\ -12 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ -11 \end{bmatrix}$

(v) 平行四辺形の面積

平行四辺形の面積は $\lVert \vec{a} \times \vec{b} \rVert$ で求められます。

$\lVert \vec{a} \times \vec{b} \rVert = \sqrt{6^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{36 + 4 + 121} = \sqrt{161}$

3. 最終的な答え

(i) $\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{21}$

(ii) $(\vec{a}, \vec{b}) = 7$

(iii) $\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{210}}$

(iv) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ -11 \end{bmatrix}$

(v) 平行四辺形の面積 = $\sqrt{161}$