次の方程式を解く問題です。 (1) $\frac{x}{x-1} - \frac{2x}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$ (2) $3 + \frac{1}{x-1} = \frac{3x-1}{x^2-1}$ (3) $\frac{x+6}{x^2-4} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = 1$ (4) $\sqrt{3-x} = x-1$ (5) $\sqrt{2x+5} = x+1$ (6) $x + \sqrt{2x+1} = 1$

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

(1) $\frac{x}{x-1} - \frac{2x}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$

(2) $3 + \frac{1}{x-1} = \frac{3x-1}{x^2-1}$

(3) $\frac{x+6}{x^2-4} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = 1$

(4) $\sqrt{3-x} = x-1$

(5) $\sqrt{2x+5} = x+1$

(6) $x + \sqrt{2x+1} = 1$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x}{x-1} - \frac{2x}{x+1} = \frac{2}{x^2-1}$

分母を払うために、$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ を両辺にかける。ただし、$x \neq 1, -1$。

$x(x+1) - 2x(x-1) = 2$

$x^2 + x - 2x^2 + 2x = 2$

$-x^2 + 3x - 2 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1, 2$

ただし、$x \neq 1$なので、解は$x=2$のみ。

(2) $3 + \frac{1}{x-1} = \frac{3x-1}{x^2-1}$

分母を払うために、$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ を両辺にかける。ただし、$x \neq 1, -1$。

$3(x^2-1) + (x+1) = 3x-1$

$3x^2 - 3 + x + 1 = 3x - 1$

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

$(3x+1)(x-1) = 0$

$x = -\frac{1}{3}, 1$

ただし、$x \neq 1$なので、解は$x = -\frac{1}{3}$のみ。

(3) $\frac{x+6}{x^2-4} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} = 1$

分母を払うために、$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ を両辺にかける。ただし、$x \neq 2, -2$。

$x+6 + (x+2) + (x-2) = x^2 - 4$

$3x + 6 = x^2 - 4$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

$(x-5)(x+2) = 0$

$x = 5, -2$

ただし、$x \neq -2$なので、解は$x = 5$のみ。

(4) $\sqrt{3-x} = x-1$

両辺を2乗する。

$3-x = (x-1)^2$

$3-x = x^2 - 2x + 1$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2, -1$

$x=2$を代入すると、$\sqrt{3-2} = 2-1$なので、$1=1$となり成立。

$x=-1$を代入すると、$\sqrt{3-(-1)} = -1-1$なので、$2=-2$となり不成立。

よって、解は$x = 2$のみ。

(5) $\sqrt{2x+5} = x+1$

両辺を2乗する。

$2x+5 = (x+1)^2$

$2x+5 = x^2 + 2x + 1$

$x^2 - 4 = 0$

$(x-2)(x+2) = 0$

$x = 2, -2$

$x=2$を代入すると、$\sqrt{2(2)+5} = 2+1$なので、$3=3$となり成立。

$x=-2$を代入すると、$\sqrt{2(-2)+5} = -2+1$なので、$1=-1$となり不成立。

よって、解は$x = 2$のみ。

(6) $x + \sqrt{2x+1} = 1$

$\sqrt{2x+1} = 1 - x$

両辺を2乗する。

$2x+1 = (1-x)^2$

$2x+1 = 1 - 2x + x^2$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$

$x = 0, 4$

$x=0$を代入すると、$0 + \sqrt{2(0)+1} = 1$なので、$1=1$となり成立。

$x=4$を代入すると、$4 + \sqrt{2(4)+1} = 1$なので、$4+3=1$となり不成立。

よって、解は$x = 0$のみ。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$

(2) $x = -\frac{1}{3}$

(3) $x = 5$

(4) $x = 2$

(5) $x = 2$

(6) $x = 0$