与えられたベクトル $c$、行列 $A$、行列 $B$ に対して、以下の計算を行い、計算不能な場合は「計算不能」と答えます。 (i) $AB$ (ii) $Bc$ (iii) $^tAc$ (ここで $^tA$ は $A$ の転置行列を表します) (iv) $^tc^tcA$ ここで $c = \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{bmatrix}$, $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 0 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられたベクトル $c$、行列 $A$、行列 $B$ に対して、以下の計算を行い、計算不能な場合は「計算不能」と答えます。

(i) $AB$

(ii) $Bc$

(iii) $^tAc$ (ここで $^tA$ は $A$ の転置行列を表します)

(iv) $^tc^tcA$

ここで

$c = \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{bmatrix}$,

$A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 0 \end{bmatrix}$,

$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

(i) $AB$ を計算します。

$A$ は $3 \times 3$ 行列、 $B$ は $3 \times 2$ 行列なので、$AB$ は $3 \times 2$ 行列になります。

$AB = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3(0) + 0(2) + 3(-7) & 3(1) + 0(2) + 3(5) \\ 1(0) + (-1)(2) + 2(-7) & 1(1) + (-1)(2) + 2(5) \\ -3(0) + 3(2) + 0(-7) & -3(1) + 3(2) + 0(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -21 & 18 \\ -16 & 9 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$

(ii) $Bc$ を計算します。

$B$ は $3 \times 2$ 行列、$c$ は $3 \times 1$ 行列なので、$Bc$ は計算できません。

(iii) $^tAc$ を計算します。

まず、$^tA$ を計算します。

$^tA = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

$^tA$ は $3 \times 3$ 行列、$c$ は $3 \times 1$ 行列なので、$^tAc$ は $3 \times 1$ 行列になります。

$^tAc = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3(-1) + 1(-4) + (-3)(0) \\ 0(-1) + (-1)(-4) + 3(0) \\ 3(-1) + 2(-4) + 0(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 4 \\ -11 \end{bmatrix}$

(iv) $^tc^tcA$ を計算します。

まず、$^tc = \begin{bmatrix} -1 & -4 & 0 \end{bmatrix}$ です。

$^tc$ は $1 \times 3$ 行列、$c$ は $3 \times 1$ 行列なので、$^tc$はスカラー値になります。

$^tc = (-1)(-1) + (-4)(-4) + (0)(0) = 1 + 16 + 0 = 17$

次に、$A$ は $3 \times 3$ 行列なので、$cA$ は計算できません。

したがって、$^tc^tcA$ は計算不能です。

3. 最終的な答え

(i) $AB = \begin{bmatrix} -21 & 18 \\ -16 & 9 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$

(ii) 計算不能

(iii) $^tAc = \begin{bmatrix} -7 \\ 4 \\ -11 \end{bmatrix}$

(iv) 計算不能