与えられた3つの式を因数分解する問題です。 (1) $8x^3 + 27y^3$ (2) $64x^3 - 1$ (3) $54x^3 + 16$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。

(1) $8x^3 + 27y^3$

(2) $64x^3 - 1$

(3) $54x^3 + 16$

2. 解き方の手順

(1) $8x^3 + 27y^3$の因数分解

これは、$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

$8x^3 = (2x)^3$、 $27y^3 = (3y)^3$と見なせるので、

$a = 2x$, $b = 3y$として公式に当てはめます。

$(2x)^3 + (3y)^3 = (2x + 3y)((2x)^2 - (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(2) $64x^3 - 1$の因数分解

これは、$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

$64x^3 = (4x)^3$、 $1 = 1^3$と見なせるので、

$a = 4x$, $b = 1$として公式に当てはめます。

$(4x)^3 - 1^3 = (4x - 1)((4x)^2 + (4x)(1) + 1^2) = (4x - 1)(16x^2 + 4x + 1)$

(3) $54x^3 + 16$の因数分解

まず、共通因数でくくります。

$54x^3 + 16 = 2(27x^3 + 8)$

次に、括弧内を$a^3 + b^3$の形にします。

$27x^3 = (3x)^3$、 $8 = 2^3$と見なせるので、$a = 3x$, $b = 2$として$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式に当てはめます。

$2((3x)^3 + 2^3) = 2(3x + 2)((3x)^2 - (3x)(2) + 2^2) = 2(3x + 2)(9x^2 - 6x + 4)$

3. 最終的な答え

(1) $(2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)$

(2) $(4x - 1)(16x^2 + 4x + 1)$

(3) $2(3x + 2)(9x^2 - 6x + 4)$