次の同次連立一次方程式が非自明解（零ベクトルでない解）を持つように、$k$ の値を定めよ。 $$ \begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ -2x + 3y - 2z = 0 \\ -x + ky + 2z = 0 \end{cases} $$

1. 問題の内容

次の同次連立一次方程式が非自明解（零ベクトルでない解）を持つように、$k$ の値を定めよ。

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\begin{cases}

x + y + 2z = 0 \\

-2x + 3y - 2z = 0 \\

-x + ky + 2z = 0

\end{cases}

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2. 解き方の手順

同次連立一次方程式が非自明解を持つためには、係数行列の行列式が0になる必要があります。

与えられた連立一次方程式の係数行列は次の通りです。

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A = \begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 \\

-2 & 3 & -2 \\

-1 & k & 2

\end{pmatrix}

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行列式 $\det(A)$ を計算します。

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\det(A) = 1 \cdot (3 \cdot 2 - (-2) \cdot k) - 1 \cdot ((-2) \cdot 2 - (-2) \cdot (-1)) + 2 \cdot ((-2) \cdot k - 3 \cdot (-1))

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= (6 + 2k) - (-4 - 2) + 2(-2k + 3)

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= 6 + 2k + 6 - 4k + 6

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= -2k + 18

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非自明解を持つためには、$\det(A) = 0$ となる必要があります。

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-2k + 18 = 0

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2k = 18

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k = 9

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3. 最終的な答え

$k = 9$