与えられた行列のランク（階数）を求める問題です。与えられた行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & -2 & 6 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列のランク（階数）を求める問題です。与えられた行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & -2 & 6 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の基本変形（行基本変形）を用いて、行列を階段行列に変形します。階段行列の0でない行の数が、元の行列のランクになります。

与えられた行列をAとします。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & -2 & 6 \end{pmatrix}$

まず、3行目を1行目と入れ替えます。

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & -2 & 6 \end{pmatrix}$

1行目に-1をかけます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & -2 & 6 \end{pmatrix}$

3行目から1行目の2倍を引きます。

4行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 4 & -2 & 8 \end{pmatrix}$

4行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

これで階段行列になりました。0でない行は2行なので、行列のランクは2です。

3. 最終的な答え

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