与えられた問題は、平方根の計算、平方根に関する基本的な知識の確認、数の大小比較、平方根を含む式の値が整数となる条件を満たす自然数を求める問題です。具体的には、以下の問題が含まれています。 * 平方根を外す計算 * 平方根の定義に関する問題 * 数の大小比較 * 平方根を含む式の値が整数となる自然数の探索

1. 問題の内容

与えられた問題は、平方根の計算、平方根に関する基本的な知識の確認、数の大小比較、平方根を含む式の値が整数となる条件を満たす自然数を求める問題です。具体的には、以下の問題が含まれています。

* 平方根を外す計算

* 平方根の定義に関する問題

* 数の大小比較

* 平方根を含む式の値が整数となる自然数の探索

2. 解き方の手順

(1)

1. $-\sqrt{64}$: $\sqrt{64} = 8$ なので、$-\sqrt{64} = -8$

2. $\sqrt{(-7)^2}$: $(-7)^2 = 49$ なので、$\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7$

3. $(-\sqrt{10})^2$: $(-\sqrt{10})^2 = 10$

4. $\sqrt{0.36}$: $\sqrt{0.36} = 0.6$

5. $-\sqrt{\frac{25}{64}}$: $\sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{5}{8}$ なので、$-\sqrt{\frac{25}{64}} = -\frac{5}{8}$

6. $(-\sqrt{\frac{3}{4}})^2$: $(-\sqrt{\frac{3}{4}})^2 = \frac{3}{4}$

(2)

1. 64 の平方根は $\pm 8$ であるので、P = $\pm 8$

2. $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ なので、Q = 3

したがって、答えはイです。

(3)

1. $\frac{2}{\sqrt{3}}$, $\frac{\sqrt{2}}{3}$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$, $\frac{2}{3}$ の中で最も大きい数を選ぶ。

* $\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \frac{2 \times 1.732}{3} \approx 1.155$

* $\frac{\sqrt{2}}{3} \approx \frac{1.414}{3} \approx 0.471$

* $\sqrt{\frac{2}{3}} \approx \sqrt{0.667} \approx 0.816$

* $\frac{2}{3} \approx 0.667$

最も大きい数は $\frac{2}{\sqrt{3}}$ なので、アです。

2. ア $(-1)^5 = -1$

イ $(\frac{4}{3})^3 \times \frac{9}{64} = \frac{64}{27} \times \frac{9}{64} = \frac{1}{3}$

ウ $2\sqrt{2} / \sqrt{8} = 2\sqrt{2} / (2\sqrt{2}) = 1$

エ $3 / \sqrt{9} = 3 / 3 = 1$

オ $-\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx -1.155$

小さい順に並べると、オ、ア、イ、ウ、エ です。

(4)

1. $\sqrt{8-a}$ が自然数となるような $a$ の値を求める。$a$ は自然数なので、$8-a$ は $0, 1, 4$ になりうる。

* $8-a=0$ のとき、$a=8$

* $8-a=1$ のとき、$a=7$

* $8-a=4$ のとき、$a=4$

したがって、$a = 4, 7, 8$

2. $\sqrt{49-3n}$ が正の整数となるような $n$ の値を求める。$49-3n$ は $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$ のいずれかになる。

* $49-3n = 1$, $3n = 48$, $n = 16$

* $49-3n = 4$, $3n = 45$, $n = 15$

* $49-3n = 9$, $3n = 40$, $n = 40/3$ (不適)

* $49-3n = 16$, $3n = 33$, $n = 11$

* $49-3n = 25$, $3n = 24$, $n = 8$

* $49-3n = 36$, $3n = 13$, $n = 13/3$ (不適)

* $49-3n = 49$, $3n = 0$, $n = 0$ (不適)

したがって、$n = 8, 11, 15, 16$

3. $\sqrt{\frac{45n}{2}}$ が整数となるような最小の自然数 $n$ を求める。$\sqrt{\frac{45n}{2}} = \sqrt{\frac{3^2 \cdot 5 \cdot n}{2}}$

$\frac{5n}{2}$ が平方数になれば良いので、最小の $n$ は $5 \times 2 = 10$

したがって、$n = 10$

4. $\frac{n}{15}$ と $\sqrt{3n}$ がともに整数となるような最小の自然数 $n$ を求める。$n = 15k$ とおくと、$\sqrt{3n} = \sqrt{45k} = 3\sqrt{5k}$ が整数になるためには、$k = 5 m^2$ となる必要がある。したがって、$n = 15 \cdot 5 m^2 = 75 m^2$。最小の $n$ は $m=1$ のときなので、$n = 75$

したがって、$n = 75$

3. 最終的な答え

(1)

1. -8

2. 7

3. 10

4. 0.6

5. -5/8

6. 3/4

(2)

イ

(3)

1. ア

2. オ、ア、イ、ウ、エ

(4)

1. 4, 7, 8

2. 8, 11, 15, 16

3. 10

4. 75