縦2列、横3列に並んだ6つのマスに、1から6までの数字が書かれたカードを1枚ずつ並べる。上列の3つの数の積を $a_1$、下列の3つの数の積を $a_2$、左列の2つの数の積を $b_1$、中央列の2つの数の積を $b_2$、右列の2つの数の積を $b_3$ とする。以下の問いに答える。 (1) $a_1$ が奇数となるような6枚のカードの並べ方は何通りあるか。 (2) $a_1$ が偶数となるような6枚のカードの並べ方は何通りあるか。 (3) $b_1$ が偶数となるような6枚のカードの並べ方は何通りあるか。 (4) $a_1$, $a_2$ がともに偶数となるような6枚のカードの並べ方は何通りあるか。 (5) $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$, $b_3$ がすべて偶数となるような6枚のカードの並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

縦2列、横3列に並んだ6つのマスに、1から6までの数字が書かれたカードを1枚ずつ並べる。上列の3つの数の積を $a_1$、下列の3つの数の積を $a_2$、左列の2つの数の積を $b_1$、中央列の2つの数の積を $b_2$、右列の2つの数の積を $b_3$ とする。以下の問いに答える。

(1) $a_1$ が奇数となるような6枚のカードの並べ方は何通りあるか。

(2) $a_1$ が偶数となるような6枚のカードの並べ方は何通りあるか。

(3) $b_1$ が偶数となるような6枚のカードの並べ方は何通りあるか。

(4) $a_1$, $a_2$ がともに偶数となるような6枚のカードの並べ方は何通りあるか。

(5) $a_1$, $a_2$, $b_1$, $b_2$, $b_3$ がすべて偶数となるような6枚のカードの並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ が奇数となるのは、上列の3つの数字がすべて奇数のときである。1, 3, 5 の3つの奇数を上列に並べる方法は $3! = 6$ 通り。残りの 2, 4, 6 の3つの偶数を下列に並べる方法は $3! = 6$ 通り。したがって、 $a_1$ が奇数となる並べ方は $6 \times 6 = 36$ 通り。

(2) $a_1$ が偶数となるのは、すべての並べ方から $a_1$ が奇数となる並べ方を除いたものである。すべての並べ方は $6! = 720$ 通り。したがって、$a_1$ が偶数となる並べ方は $720 - 36 = 684$ 通り。

(3) $b_1$ が偶数となるのは、左列の少なくとも一つの数字が偶数のときである。$b_1$ が奇数となるのは、左列の数字がともに奇数のときである。1, 3, 5 の3つの奇数から2つを選んで並べる方法は $3 \times 2 = 6$ 通り。残りの4つの数字を並べる方法は $4! = 24$ 通り。したがって、$b_1$ が奇数となる並べ方は $6 \times 24 = 144$ 通り。したがって、$b_1$ が偶数となる並べ方は $720 - 144 = 576$ 通り。

(4) $a_1$ と $a_2$ がともに偶数となるのは、少なくとも1つの偶数が上列にあり、少なくとも1つの偶数が下列にある場合である。

$a_1$ と $a_2$ がともに奇数となる場合は (1) より36通り。

$a_1$ が奇数、$a_2$ が偶数となる場合、上列に奇数が3つ、下列に少なくとも１つ偶数がある。 $a_1$が奇数のとき、$a_2$ は偶数になる。$a_1$ が偶数、$a_2$ が奇数となる場合は、$a_2$が奇数のとき、$a_1$ は偶数になる。

$a_1$または$a_2$の少なくとも一方が奇数になるのは、$a_1$ が奇数の場合は36通り、$a_2$ が奇数の場合も36通り。$a_1$と$a_2$が両方奇数の場合は36通り。よって$a_1$または$a_2$の少なくとも一方が奇数になる場合は $36 + 36 - 36 = 36$ではない。

$a_1$が奇数となるのが36通り。$a_1$が偶数となるのが684通り。

全ての並べ方は $6! = 720$ 通り。

$a_1$ が奇数となる場合は、1, 3, 5が上段に並び、2, 4, 6が下段に並ぶ。これは $3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$通り。

したがって、$a_1$ と $a_2$ が共に偶数となる並べ方は、$a_1$ と $a_2$ のいずれかが奇数になる場合を除けば良い。

$a_1$ か $a_2$ のどちらかが奇数になるのは、$720 - (a_1 \text{と} a_2 \text{の両方が奇数になる場合の数}) - (a_1 \text{と} a_2 \text{の両方が偶数になる場合の数})$

$a_1,a_2$ が両方奇数になるのは、$3! \times 3! = 36$ 通り

$a_1, a_2$ が両方とも偶数になる場合

(5) $a_1, a_2, b_1, b_2, b_3$ がすべて偶数となる並べ方を考える。

3. 最終的な答え

(1) 36通り

(2) 684通り

(3) 576通り

(4) 解答不能

(5) 解答不能