10%の食塩水100gが入っている容器がある。この容器から$x$gの食塩水を取り出し、代わりに$x$gの水を入れ、よくかき混ぜる。さらに、1回目に取り出した量の2倍の量の食塩水を取り出し、それと同量の水を入れ、よくかき混ぜたところ、食塩水の濃度は4.8%になった。 (1) 1回目の操作で容器に残る食塩の量を、$x$を用いて表しなさい。 (2) 1回目に取り出した食塩水の量を求めなさい。

1. 問題の内容

10%の食塩水100gが入っている容器がある。この容器から$x$gの食塩水を取り出し、代わりに$x$gの水を入れ、よくかき混ぜる。さらに、1回目に取り出した量の2倍の量の食塩水を取り出し、それと同量の水を入れ、よくかき混ぜたところ、食塩水の濃度は4.8%になった。

(1) 1回目の操作で容器に残る食塩の量を、$x$を用いて表しなさい。

(2) 1回目に取り出した食塩水の量を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

まず、1回目の操作で取り出した食塩の量を計算します。

10%の食塩水$x$gに含まれる食塩の量は、$0.1x$gです。

1回目の操作後、容器に残る食塩水の量は$100-x$gです。

この中に含まれる食塩の量は、$10 - 0.1x$gです。

したがって、1回目の操作で容器に残る食塩の量は、$10 - 0.1x$です。

(2)

1回目の操作後、食塩水の量は100gです。食塩の量は$10-0.1x$gなので、濃度は$\frac{10-0.1x}{100}$です。

2回目の操作で取り出す食塩水の量は$2x$gです。この食塩水に含まれる食塩の量は$\frac{10-0.1x}{100} \times 2x = \frac{20x-0.2x^2}{100}$gです。

2回目の操作後、容器に残る食塩水の量は$100-2x$gです。2回目の操作後の食塩水の量は100gに保たれています。

2回目の操作後、容器に残る食塩の量は、$10-0.1x - \frac{20x-0.2x^2}{100} = 10 - 0.1x - 0.2x + 0.002x^2 = 10 - 0.3x + 0.002x^2$gです。

2回目の操作後の食塩水の濃度は4.8%なので、食塩の量は$100 \times 0.048 = 4.8$gです。

したがって、$10 - 0.3x + 0.002x^2 = 4.8$という式が成り立ちます。

$0.002x^2 - 0.3x + 5.2 = 0$

両辺を500倍して、$x^2 - 150x + 2600 = 0$

$(x-20)(x-130)=0$

$x = 20$または$x = 130$

$x$は100以下なので、$x=20$

3. 最終的な答え

(1) 1回目の操作で容器に残る食塩の量は、$10 - 0.1x$ g。

(2) 1回目に取り出した食塩水の量は、20g。