0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる4個の数字を選んで並べて4桁の整数を作る。以下の問いに答えよ。 (1) 作れる整数の個数を求めよ。 (2) 作れる整数のうち、3の倍数の個数を求めよ。 (3) 作れる整数のうち、6の倍数の個数を求めよ。 (4) 作れる整数のうち、2400より大きい整数の個数を求めよ。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5 の6個の数字から異なる4個の数字を選んで並べて4桁の整数を作る。以下の問いに答えよ。

(1) 作れる整数の個数を求めよ。

(2) 作れる整数のうち、3の倍数の個数を求めよ。

(3) 作れる整数のうち、6の倍数の個数を求めよ。

(4) 作れる整数のうち、2400より大きい整数の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数

千の位には0以外の数字が入るので、5通りの選択肢がある。

百の位には、千の位で使った数字以外の5通りの選択肢がある。

十の位には、千の位と百の位で使った数字以外の4通りの選択肢がある。

一の位には、千の位、百の位、十の位で使った数字以外の3通りの選択肢がある。

したがって、作れる整数の個数は $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個である。

(2) 3の倍数

数字の和が3の倍数になるように4つの数字を選ぶ必要がある。

考えられる組み合わせは、以下の通り。

(0, 1, 2, 3), (0, 1, 2, 6), (0, 1, 5), (0, 2, 4, 5), (0, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 5), (1, 2, 4, 5), (2, 3, 4, 5)

和が3の倍数となる4つの数字の組み合わせは以下の通り。

(0, 1, 2, 3), (0, 1, 5, 6), (0, 2, 4, 6), (0, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 6), (1, 2, 5, 6), (1, 3, 4, 6), (1, 4, 5, 6), (2, 3, 4, 6), (3, 4, 5, 6)

(0, 1, 2, 3)の場合、4! - 3! = 24 - 6 = 18個

(1, 2, 3, 4)の場合、4! = 24個

(1, 2, 4, 5)の場合、4! = 24個

(1, 3, 4, 5)の場合、4! = 24個

(2, 3, 4, 5)の場合、4! = 24個

それぞれの組み合わせについて、4桁の整数を作れる個数を考える。

* 0を含む組み合わせの場合：4! - 3! = 24 - 6 = 18個

* 0を含まない組み合わせの場合：4! = 24個

上記の組み合わせのうち、0を含むものは(0, 1, 2, 3), (0, 1, 2, 6), (0, 1, 5), (0, 2, 4, 5), (0, 3, 4, 5) の5つ。0を含まないものは (1, 2, 3, 5), (1, 2, 4, 5), (2, 3, 4, 5) の3つ。

3の倍数の個数 = $5 \times 18 + 3 \times 24 = 90 + 72 = 162$個。

(3) 6の倍数

6の倍数は、2の倍数かつ3の倍数である必要がある。つまり、一の位が偶数(0, 2, 4)であり、かつ数字の和が3の倍数である必要がある。

組み合わせを考える。

(0, 1, 2, 3) -> 1, 2, 3は奇数+偶数+奇数なので、0, 2 を末尾にする。

(0, 1, 5, 6) -> 1, 5は奇数+奇数なので、0, 6を末尾にする。

(0, 2, 4, 6) -> すべて偶数なので、末尾は0, 2, 4, 6。

(0, 3, 4, 5) -> 3, 5は奇数+奇数なので、0, 4を末尾にする。

(1, 2, 3, 4) -> 1, 3は奇数+奇数なので、2, 4を末尾にする。

(1, 2, 4, 5) -> 1, 5は奇数+奇数なので、2, 4を末尾にする。

(2, 3, 4, 5) -> 3, 5は奇数+奇数なので、2, 4を末尾にする。

各ケースについて計算する。

(0, 1, 2, 3): 末尾0 -> 3 x 2 x 1 = 6, 末尾2 -> 3 x 2 x 1 = 6, 合計12

(0, 1, 5, 6): 末尾0 -> 3 x 2 x 1 = 6, 末尾6 -> 3 x 2 x 1 = 6, 合計12

(0, 2, 4, 6): 末尾0 -> 3 x 2 x 1 = 6, 末尾2 -> 3 x 2 x 1 = 6, 末尾4 -> 3 x 2 x 1 = 6, 末尾6 -> 3 x 2 x 1 = 6, 合計24

(0, 3, 4, 5): 末尾0 -> 3 x 2 x 1 = 6, 末尾4 -> 3 x 2 x 1 = 6, 合計12

(1, 2, 3, 4): 末尾2 -> 3 x 2 x 1 = 6, 末尾4 -> 3 x 2 x 1 = 6, 合計12

(1, 2, 4, 5): 末尾2 -> 3 x 2 x 1 = 6, 末尾4 -> 3 x 2 x 1 = 6, 合計12

(2, 3, 4, 5): 末尾2 -> 3 x 2 x 1 = 6, 末尾4 -> 3 x 2 x 1 = 6, 合計12

合計すると、12 + 12 + 24 + 12 + 12 + 12 + 12 = 96個

(4) 2400より大きい整数

千の位が2のとき、百の位が4,5

千の位が3,4,5のとき

千の位が2のとき：

2401, 2403, 2405, 2410, 2413, 2415, ...

2501, 2503, 2504, 2510, 2513, 2514, ...

24XX -> 4 x 3 = 12

25XX -> 4 x 3 = 12

千の位が3のとき：5 x 4 x 3 = 60

千の位が4のとき：5 x 4 x 3 = 60

千の位が5のとき：5 x 4 x 3 = 60

千の位が2の場合、百の位が4または5である必要がある。

* 24XXの場合: 十と一の位は0, 1, 3, 5から選ぶ。4P2 = 4 x 3 = 12通り

* 25XXの場合: 十と一の位は0, 1, 3, 4から選ぶ。4P2 = 4 x 3 = 12通り

千の位が3, 4, 5の場合: 百、十、一の位は残りの5個から選ぶ。5P3 = 5 x 4 x 3 = 60通り

したがって、2400より大きい整数の個数は $12 + 12 + 3 \times 60 = 24 + 180 = 204$個。

3. 最終的な答え

(1) 300個

(2) 162個

(3) 96個

(4) 204個