0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の7個の数字から異なる3個を選び、それらを並べて3桁の自然数を作ります。ただし、百の位は0にはできません。 (1) 3桁の自然数は全部で何通りできるか。 (2) 偶数は全部で何通りできるか。 (3) 451より大きい自然数は全部で何通りできるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の7個の数字から異なる3個を選び、それらを並べて3桁の自然数を作ります。ただし、百の位は0にはできません。

(1) 3桁の自然数は全部で何通りできるか。

(2) 偶数は全部で何通りできるか。

(3) 451より大きい自然数は全部で何通りできるか。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の自然数の総数

まず、百の位にくる数字は0以外なので6通りあります。

次に、十の位にくる数字は、百の位で使った数字と0以外の残り6通りです。

最後に、一の位にくる数字は、百の位と十の位で使った数字以外の残り5通りです。

したがって、3桁の自然数は全部で $6 \times 6 \times 5 = 180$ 通りです。

(2) 偶数の総数

一の位が偶数（0, 2, 4, 6）の場合を考えます。

i) 一の位が0の場合：

百の位は0以外の6通り。十の位は残り5通り。

よって、 $6 \times 5 = 30$通り。

ii) 一の位が2, 4, 6の場合：

一の位は3通り。

百の位は0と一の位で使った数字以外なので5通り。

十の位は0と百の位、一の位で使った数字以外なので5通り。

よって、 $3 \times 5 \times 5 = 75$通り。

したがって、偶数の総数は $30 + 75 = 105$通り。

(3) 451より大きい自然数の総数

451, 452, 453, 456, 460, 461, 462, 463, 465

501, 502, 503, 504, 506

510, 512, 513, 514, 516

520, 521, 523, 524, 526

530, 531, 532, 534, 536

540, 541, 542, 543, 546

560, 561, 562, 563, 564

601, 602, 603, 604, 605

610, 612, 613, 614, 615

620, 621, 623, 624, 625

630, 631, 632, 634, 635

640, 641, 642, 643, 645

650, 651, 652, 653, 654

400番台：

451, 452, 453, 456, 460, 461, 462, 463, 465の9通り

500番台：5□□: 5を百の位とする場合

5は固定なので、残り6個から2個を選ぶ。並び順も考慮すると $6 \times 5 = 30$通り。

600番台：6□□: 6を百の位とする場合

6は固定なので、残り6個から2個を選ぶ。並び順も考慮すると $6 \times 5 = 30$通り。

ただし、451未満の数字を引く

401, 402, 403, 405, 406, 410, 412, 413, 415, 416, 420, 421, 423, 424, 425, 426, 430, 431, 432, 434, 435, 436, 450

全部で、$9 + 30 + 30 = 69$通り。

3. 最終的な答え

(1) 180通り

(2) 105通り

(3) 69通り