問題18：2桁の自然数のうち、以下の条件を満たすものは何個あるか。 (1) 各位の数字の積が偶数 (2) 各位の数字の和が偶数 問題19：次の方法は何通りあるか。 (1) "ORANGE"の6文字全てを1列に並べる方法 (2) 異なる8個の数字から5個を取って1列に並べる方法 (3) 番号のついた12脚の椅子に3人の生徒が座る方法

1. 問題の内容

問題18：2桁の自然数のうち、以下の条件を満たすものは何個あるか。

(1) 各位の数字の積が偶数

(2) 各位の数字の和が偶数

問題19：次の方法は何通りあるか。

(1) "ORANGE"の6文字全てを1列に並べる方法

(2) 異なる8個の数字から5個を取って1列に並べる方法

(3) 番号のついた12脚の椅子に3人の生徒が座る方法

2. 解き方の手順

問題18

(1) 2桁の自然数は10から99までの90個。各位の数字の積が偶数になるのは、少なくとも片方の数字が偶数である場合。両方の数字が奇数の場合を全体から引くことで求められる。1, 3, 5, 7, 9の5つの奇数から2つ選んで並べる方法は$5 \times 5 = 25$通り。ただし10から99までなので、0は使えない。

奇数の場合: 11, 13, 15, 17, 19, 31, 33, 35, 37, 39, 51, 53, 55, 57, 59, 71, 73, 75, 77, 79, 91, 93, 95, 97, 99の25通り。

したがって、各位の数字の積が偶数になるのは$90-25=65$通り。

(2) 各位の数字の和が偶数になるのは、両方の数字が偶数か、両方の数字が奇数の場合。

両方偶数: 十の位は1から9なので、偶数は2, 4, 6, 8の4通り。一の位は0, 2, 4, 6, 8の5通り。よって$4 \times 5 = 20$通り。

両方奇数: 十の位は1, 3, 5, 7, 9の5通り。一の位は1, 3, 5, 7, 9の5通り。よって$5 \times 5 = 25$通り。

合計で$20 + 25 = 45$通り。

問題19

(1) "ORANGE"の6文字を1列に並べる方法は、6!通り。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$通り。

(2) 異なる8個の数字から5個を取って1列に並べる方法は、順列$_8P_5$で計算できる。

$_8P_5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$通り。

(3) 番号のついた12脚の椅子から3脚を選び、3人の生徒が座る方法は順列$_{12}P_3$で計算できる。

$_{12}P_3 = \frac{12!}{(12-3)!} = \frac{12!}{9!} = 12 \times 11 \times 10 = 1320$通り。

3. 最終的な答え

問題18

(1) 65個

(2) 45個

問題19

(1) 720通り

(2) 6720通り

(3) 1320通り