右の図の直角三角形ABCを直線 $l$ を軸として1回転させてできる立体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

右の図の直角三角形ABCを直線 $l$ を軸として1回転させてできる立体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直角三角形ABCを直線 $l$ を軸として回転させたときにできる立体の形状を考えます。

この立体は、底面の半径が $\frac{9}{4}$ cm, 高さが $9$ cm の円錐から、底面の半径が $2$ cm, 高さが $2$ cm の円錐を取り除いたものになります。

円錐の体積の公式は、

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

なので、大きい円錐の体積 $V_1$ は、

$V_1 = \frac{1}{3} \pi (\frac{9}{4})^2 \times 9 = \frac{1}{3} \pi \frac{81}{16} \times 9 = \frac{243}{16} \pi$

小さい円錐の体積 $V_2$ は、

$V_2 = \frac{1}{3} \pi (2)^2 \times 2 = \frac{1}{3} \pi \times 4 \times 2 = \frac{8}{3} \pi$

したがって、求める立体の体積 $V$ は、

$V = V_1 - V_2 = \frac{243}{16} \pi - \frac{8}{3} \pi = \frac{243 \times 3 - 8 \times 16}{48} \pi = \frac{729 - 128}{48} \pi = \frac{601}{48} \pi$

3. 最終的な答え

$\frac{601}{48}$