与えられた三角形ABCについて、与えられた辺の長さと角の大きさから、残りの辺の長さと角の大きさを求める問題です。 具体的には、以下の4つの場合について解きます。 (1) $a=\sqrt{6}$, $b=2$, $c=1+\sqrt{3}$ (2) $a=2\sqrt{3}$, $c=3-\sqrt{3}$, $B=120^\circ$ (3) $a=10$, $A=45^\circ$, $C=30^\circ$ (4) $b=3$, $c=3\sqrt{3}$, $B=30^\circ$

1. 問題の内容

与えられた三角形ABCについて、与えられた辺の長さと角の大きさから、残りの辺の長さと角の大きさを求める問題です。 具体的には、以下の4つの場合について解きます。

(1) $a=\sqrt{6}$, $b=2$, $c=1+\sqrt{3}$

(2) $a=2\sqrt{3}$, $c=3-\sqrt{3}$, $B=120^\circ$

(3) $a=10$, $A=45^\circ$, $C=30^\circ$

(4) $b=3$, $c=3\sqrt{3}$, $B=30^\circ$

2. 解き方の手順

(1) $a=\sqrt{6}$, $b=2$, $c=1+\sqrt{3}$ の場合

3辺が与えられているので、余弦定理を使って角を求めます。

$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{2^2 + (1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2}{2 \cdot 2 \cdot (1+\sqrt{3})} = \frac{4 + 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 6}{4(1+\sqrt{3})} = \frac{2+2\sqrt{3}}{4(1+\sqrt{3})} = \frac{1}{2}$

したがって、$A = 60^\circ$ です。

$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{(\sqrt{6})^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2^2}{2 \cdot \sqrt{6} \cdot (1+\sqrt{3})} = \frac{6 + 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 4}{2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})} = \frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$B = 45^\circ$ です。

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

(2) $a=2\sqrt{3}$, $c=3-\sqrt{3}$, $B=120^\circ$ の場合

余弦定理を使って $b$ を求めます。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B = (2\sqrt{3})^2 + (3-\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(3-\sqrt{3})\cos 120^\circ = 12 + 9 - 6\sqrt{3} + 3 - 4\sqrt{3}(3-\sqrt{3})(-\frac{1}{2}) = 24 - 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}(3-\sqrt{3}) = 24 - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 6 = 18$

したがって、$b = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ です。

正弦定理を使って $A$ を求めます。

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} \implies \sin A = \frac{a \sin B}{b} = \frac{2\sqrt{3} \sin 120^\circ}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$A = 45^\circ$ です。

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ$

(3) $a=10$, $A=45^\circ$, $C=30^\circ$ の場合

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

正弦定理を使って $c$ を求めます。

$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \implies c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{10 \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{5}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 5\sqrt{2}$

正弦定理を使って $b$ を求めます。

$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \implies b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{10 \sin 105^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10 \sin(60^\circ + 45^\circ)}{\sin 45^\circ} = \frac{10(\sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ)}{\sin 45^\circ} = 10(\sin 60^\circ + \cos 60^\circ) = 10(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = 5(\sqrt{3}+1)$

(4) $b=3$, $c=3\sqrt{3}$, $B=30^\circ$ の場合

正弦定理を使って $C$ を求めます。

$\frac{\sin C}{c} = \frac{\sin B}{b} \implies \sin C = \frac{c \sin B}{b} = \frac{3\sqrt{3} \sin 30^\circ}{3} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$C = 60^\circ$ または $C = 120^\circ$ です。

もし $C=60^\circ$ であれば、$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$ となります。

$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{3 \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{3 \cdot 1}{\frac{1}{2}} = 6$

もし $C=120^\circ$ であれば、$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$ となります。

したがって、$A = B = 30^\circ$ なので、$a = b = 3$

$a=3$

3. 最終的な答え

(1) $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$, $C = 75^\circ$

(2) $b = 3\sqrt{2}$, $A = 45^\circ$, $C = 15^\circ$

(3) $B = 105^\circ$, $c = 5\sqrt{2}$, $b = 5(1+\sqrt{3})$

(4) $A = 90^\circ$, $C = 60^\circ$, $a = 6$ または $A = 30^\circ$, $C = 120^\circ$, $a = 3$