この問題は大問3であり、三角比に関するいくつかの小問から構成されています。具体的には、直角三角形の図から$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値を求めたり、$\cos \theta$の値が与えられたときに$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めたり、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値が与えられたときに$\theta$の角度を求めたり、$\sin 115^\circ$を鋭角の三角比で表したりする問題です。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

この問題は大問3であり、三角比に関するいくつかの小問から構成されています。具体的には、直角三角形の図から$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値を求めたり、$\cos \theta$の値が与えられたときに$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めたり、$\sin \theta$と$\tan \theta$の値が与えられたときに$\theta$の角度を求めたり、$\sin 115^\circ$を鋭角の三角比で表したりする問題です。

2. 解き方の手順

[1]

まず、与えられた直角三角形の辺の長さを確認します。斜辺の長さは$2$、対辺の長さは$\sqrt{2}$、隣辺の長さは$\sqrt{2}$です。

$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

[2]

$\theta$は鈍角で、$\cos \theta = -\frac{3}{4}$です。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$の関係から、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\theta$は鈍角なので、$\sin \theta > 0$であり、$\sin \theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

[3]

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲で、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる$\theta$は、$\theta = 60^\circ$と$\theta = 120^\circ$です。

(2) $\tan \theta = -1$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$の範囲で、$\tan \theta = -1$となる$\theta$は、$\theta = 135^\circ$です。

[4]

$\sin 115^\circ = \sin (180^\circ - 115^\circ) = \sin 65^\circ$

3. 最終的な答え

[1]

$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan \theta = 1$

[2]

$\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

[3]

(1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(2) $\theta = 135^\circ$

[4]

$\sin 115^\circ = \sin 65^\circ$